微积分II一些补充知识和技巧.doc

定积分部分 第一积分中值定理 【定理】：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点（a,b），使得。注意取g(x)=1即可以得到我们熟悉的积分中值定理。 【用途】：处理一些定积分证明题可以用上。 一种含变量x的积分上限函数的求导公式 函数和原函数之间的关系 1、周期函数的原函数不一定是周期函数 【举例】：y=cosx+1的原函数是y=sinx+x，不是周期函数。 【推论】周期奇函数的原函数一定是周期函数。（证明略）。 2、奇函数的原函数组（即不定积分C取任何值）都是偶函数，但偶函数的原函数组中只有一个是奇函数。 几个重要的广义积分结论 2、（p0；w0) 1 4、 周期函数的定积分技巧（可用来快速解决课本上一道较难的周期定积分题） 设周期函数周期为T，周期函数为f(x)有： （周期函数任意一个周期内的积分是不变的） （n是正整数） 设是以周期T为周期的周期函数，则它的积分上限函数F(x)=也是以T为周期的周期函数的充要条件是：（即函数在一个周期长上的定积分为0） 一个非常OP的定积分变换等式（处理一些复杂问题时常用） 定理： 几何解释：曲线y=f(x)和y=f(a+b-x)关于直线对称。 一个定积分计算体积的公式 f（x）在[a,b]上与x轴围成的曲边梯形（f(x)=0）绕y轴旋转一周的体积公式： V=（证明方法略） 多元函数微积分部分 二次极限和二重极限 【定理】二重极限大家都知道，就是二元函数的极限。这里不介绍。二次极限的定义我们也不介绍没必要了解，只要知道二次极限的计算方法和它与二重极限的关系： 二次极限的计算方法：求函数f(x,y）在点（x0,y0）处的二次极限，则先将y固定，即求：，再求，这样得到的答案为二次极限。 注意二次极限有两个值，一个是先x再y得到的,另一种是先y再x得到的。现在再设二重极限，现在叙述它们的关系： 如果A、B都存在且AB，二重极限C不存在。（常用定理） 如果C存在且A、B中至少有一个存在，则二重极限C=（A、B中存在的那一个）。 如果A、B、C均存在，则A、B、C均相等。 4、如果A、B存在，但C存在与否并不知道，那么即使A=B，也不能判断C存在。 【注】引入这个二次极限的处理是因为咱们书上的二重极限求解方法经常涉及到放缩，放缩需要比较高的思维水平，难度较大。而二次极限的方法要简单一点，处理起来要快。 多元函数几个概念之间的层次关系 【注】：箭头都是单向的。没有箭头的两个概念之间，除了上层推下层以外，无相关关系。例如可偏导和有极限之间并没有必然关系。 无穷级数部分 数列中的斯托尔茨定理 【定理】设数列{yn}单调递增，且，则当存在或为∞时，有： 【推论】 若存在，则（数列前n项算术平均值的极限=数列的极限） 若存在且，则（正项数列前n项的几何平均值的极限=数列的极限） 若，则 【注】斯托尔茨定理可以用来计算一些难度较大的无穷级数的极限。 p级数和交错p级数的收敛情况 【注】：p级数和交错p级数常用在无穷级数问题处理之中，故在此做出分析： p级数 【公式】： 【收敛情况】：当p1时收敛，当p=1时发散。 交错p级数 【公式】： 【收敛情况】：当p1时绝对收敛；当0p=1时条件收敛；当p=0时发散。 【注】：交错调和级数 1 积分审敛法 【定理】设函数f(x)在[1,+∞）上非负且连续，则正项级数与广义积分有相同的敛散性。 【注】由于函数的定积分比数列的和更容易去求，所以积分审敛法适用于不太好处理又不能求和后审敛的无穷级数的敛散性判断。 正项级数里面常用的几个不等式关系（用来判断敛散性） 【注】：下列级数都默认为正项级数。 （权方和不等式推导） 判断一个任意级数收敛的步骤总结 三个常用p级数的和 2、 3、（C=0.5772……，C叫做欧拉常数，为无穷不循环小数） 幂级数中的阿贝尔定理 若收敛，且，则绝对收敛。 若发散，且，则也发散。 【注】：这个定理是告诉我们，对于一个幂级数，比收敛的点更接近原点的点，也是收敛点。比发散的点更远离原点的点，也是发散点。这个定理可以用来快速判断一些点的敛散性。 缺项的幂级数的收敛半径的确定方法 【定理】若幂级数缺项，即成如下形式：，则先求的收敛半径，则此时可以得到。 幂级数求和以及函数展开成幂级数中的几个常用级数和技巧 1、（1）先积分再求导 （2）先求导再积分 2、一些常见的幂级数综合关系式（记住其中几个常用的就行了） 微分方程部分 伯努利方程的通解形式（最好掌握推导方法，掌握不了就背这个通解结论） 【注】： 全微分方程（恰当方程）的微分解 【定理】以二阶为例，设某个二阶函数u(x,y)的偏导数（A，B不一定是常数，也可能是含x,y的表达式），则这样一个微分方程：就叫做全微分