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矩阵特征值解法初探 届 别 2012届 系 别 数学系 专 业 信息与计算科学 姓 名 马晓娜 指导教师 王川龙 二○一二年五月 矩阵特征值解法初探 学生姓名: 马晓娜 指导老师: 王川龙 摘要 矩阵的奇异值与特征值是矩阵分析中的重要课题. 本文研究了利用幂方法、Krylor方法、Lanczos方法、Frame方法、Samuelson方法解特征值的理论, 并在此基础上举例分析了奇异值与特征值的关系. 关键词 特征值; 奇异值; 谱范数; 谱半径 基础知识 设矩阵A?Cn?n. 如果则称A 是酉矩阵. 矩阵A的奇异值用 表示. 定义1 设A =[a ij]∈Mn (C),若存在数?和和非零向量x, 使得 则称λ为矩阵A的特征值，x为A的属于特征值λ的标准特征向量. 定理[1] (奇异值分解) 设矩阵A?Cn×n, rank(A)= k. 则存在酉矩阵U 和V, 使得,其中， (?1?……??k 0)为A的非零奇异值. 因此, ?k 由A 唯一确定. 一、幂方法 介绍n阶矩阵A有完备的特征向量系时，按模最大和最小的特征值与对应的特征向量的计算方法. 设A?Cn?n的特征值为?1, ?2, …, ?n, 对应的特征向量依次为x1, x2, …, xn, 且它们线性无关 1.乘幂法[2] (适用于求大型稀疏矩阵的主特征值) 设A的特征值满足, (1) 给定非零向量V(0)?Cn, 并分解 且要求?1≠0, 则有 (2) 当k充分大时, 式(2)括号中第二项可以省略, 即A(k)v(0)近似于?1?1kx1, 从而可以对应于特征值的近似特征值向量. 但在实际计算中, 常数因子?1?1k当k→∞时会导致无限减小或无限增大, 所以每一步应使用一次单位化运算. 设u=(u1,u2,,un)T,记u?Cn的最大分量为 ， 于是建立迭代公式 } (3) 下面讨论向量序列{v(k)}的收敛性. 从式(3)逐次回代可得 上式分母是一个常数, 而v(k)的最大分量总是1, 所以 (4) 在式(1)及?1≠0的假设下, 当k→∞时, 由式(2)有 于是得到：mk收敛于?1, 而v(k)收敛于对应?1的单位特征向量. 2.逆幂法 设可逆矩阵A的特征值满足, 则A-1的特征值满足 即1/?n是A-1的按模最大特征值, 将乘幂法迭代公式(3)用于A-1, 即得逆幂法迭代公式 由解出u(k), (5) （k=1,2,…） 与乘幂法的收敛性分析相同, 有 为了计算A的第l个特征值及对应的特征向量, 选取常数q??I (i=1,2,…,n)满足 0??l-q????i-q? (i?l) (6) 即要求q接近于?l, 则(A-qI)-1的按模最大特征值为(?l-q)-1, 对矩阵A-qI应用逆幂法迭代公式(5), 可得 由解出u(k), (7) (k=1,2,…). 于是有 只要q选择得能很好地满足式(6), 则迭代公式(7)的收敛速度可以很快. 参数q的选择可以利用Gerschgorin定理或其他有关特征值的信息. 迭代公式(7)称为原点位移的逆幂法. 它是目前求矩阵特征值和特征向量的有效方法之一. 二、Krylov方法 通过计算