补充知识——统计学基础 (2).docVIP

统计学基础知识 经济计量模型是一类十分重要的统计模型，经常用于描述一些经济当中的随机现象及规律。为此，我们需要对经济计量模型给出一些基本的介绍，以便学习更为深入的经济计量学理论与方法。为此，我们需要首先回顾概率论与数理统计方面的一些重要内容。 §3.1 随机变量及其分布的数字特征 §3.1.1 随机变量 任何随机实验的结果都可以利用样本空间表示，因此可以在样本空间上定义随机变量。 定义3.1 定义在样本空间上的实值可测函数，称为随机变量。 这样一来，随机变量可以表示很多随机实验的结果，也可以通过定量化变量来表示随机实验的结果。 定义随机变量以后，便可以定义随机变量的概率分布函数，这样就可以利用概率分布函数分析随机变量取值的概率。 §3.1.2 随机变量的概率分布 定义3.2 假设是随机变量，对任意实数，定义函数： (3.1) 我们称函数是随机变量的概率分布函数。 如此定义的概率分布函数是左连续函数。 当分布函数连续可微的时候，其导数称为概率密度函数；当分布函数存在可数个间断点时，称其为离散概率分布，这时可以定义离散概率分布列。 如果了解了随机变量的概率分布，则可以计算出任何区间内随机变量的概率，则有： 命题3.1 假设是随机变量，是概率分布函数，是概率密度函数，则对于任意的实数，有： (3.2) §3.1.3 随机变量的数字特征 由于彻底了解随机变量的概率性质，需要知道随机变量的分布函数或者密度函数，这是比较困难的。因此，有些时候只需要了解一些概率分布函数的重要特征就可以了，因此我们讨论下述随机变量的重要数字特征，即均值和方差。 定义3.3 假设是随机变量，并且二次可积，则定义随机变量的均值和方差为： ， 均值和方差具有非常重要的统计性质，均值表示随机变量的平均取值，而方差表示随机变量围绕均值的波动程度。这里的波动经常代表一种“信息”和“风险”，需要大家给予深入的理解。 例3.1 一些重要的概率分布函数如下： (1) 均匀分布()，密度函数为： (3.3) ， 均匀分布是一种表示均等可能的概率分布，表示“等同无知”或者“等同浓度”等概念。 (2) 指数分布 密度函数为： (3.4) ， 指数分布经常表示一种生命过程，例如产品周期和使用寿命等。 (3) 正态分布，这是十分重要的概率分布。其分布密度函数为： ， (3.5) 这种分布的意义应该给予更为深刻的了解，因此这种分布是概率统计的基础。显然有： ， (4) 二项分布 假设随机变量，概率分布列为： (3.6) ， 二项分布表示次试验中成功次数的概率分布，是一种十分常见的离散概率分布类型。 (5) 泊松分布(Poisson) 假设随机变量，概率分布列为： ， (3.7) ， 泊松分布经常表示一段时间内某种时间发生频率或者强度的概率分布。 §3.2 多元随机向量及其概率分布 §3.2.1 多元随机向量 如果一个随机变量无法描述一个随机现象，例如某种射击的弹落点就需要二元坐标加以度量，则需要多个随机变量一起度量这些随机现象。以随机变量为分量构成的向量称为随机向量。 定义3.4 假设是维随机向量，对任意实数，称元函数： (3.8) 为的联合概率分布函数。 有了上述联合概率分布函数的定义以后，就可以联合概率密度函数，也定义边际概率密度和条件概率密度。 联合概率密度函数定义为： (3.9) 例如对于二元概率密度函数，边际密度函数定义为： ， (3.10) 条件概率密度函数为： ， (3.11) §3.2.2 随机向量之间的独立性和相依性 独立性和相关性是随机变量之间最为重要的相互关系，独立性定义为： 定义3.5 如果随机向量的联合概率分布函数等于边际分布函数的乘积，则称随机变量之间的相互独立的。 对于两个随机变量而言，如