角动量守恒的推导.doc

有心力场的角动量守恒 law of conservation of angular momentum in central-force field 肖云剑? （广东省中山市华侨中学高中部，中山 528400） Email: xyj198610@sina.cn 手机 关键词：角动量 极坐标 有心力 椭圆轨道 摘要：在有心力的作用下，一个物体绕某一点转动。如果采用极坐标，物体在切向的加速度为零，利用微积分的知识，可以从另一方面推导出角动量守恒关系。 前言： 科组在教学过程中，有人提出对于匀速圆周的物体，如果提供向心力的力增大或减小（如图1所示，增加或减小M的质量），但该力始终指向原来的圆心，物体会如何运动的问题。众所周知，力减小，物体做离心运动；力增大，物体做近心运动，但最终能否稳定在某一轨道上做匀速圆周运动，则成为讨论的重点。笔者在此问题上提出自己的看法。 内容： 因为是旋转问题，所以旋转极坐标来研究是比较方便的。设远离半径方向单位向量，切线方向单位向量为。则物体的位移为： ……① 对①求导： ……② 即径向速度大小： ……③ 切向速度大小（匀速圆周运动中的线速度大小）： ……④ 继续对②求导： ……⑤ 可知：法向加速度大小： ……⑥ 切向加速度大小： ……⑦ 如果是圆周运动，半径大小不变，即，由⑥可知，向心加速度大小是，方向指向圆心。 显然本处物体不再做圆周运动，但是切向加速度始终为零。由⑦，得： 整理可得： 积分，得： 再次整理，得到： 由上式，得： 对于同一物体（或系统）而言，其。（I为转动惯量）即一个在有心力场中运动的质点，始终受到一个通过力心的有心力作用，因有心力对力心的力矩为零，所以根据角动量定理，该质点对力心的角动量守恒。因此，质点轨迹是平面曲线，且质点对力心的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。如果把太阳看成力心，行星看成质点，则上述结论就是开普勒行星运动三定律之一的开普勒第二定律。 ，角度，线速度（注：此时）。物体肯定远离圆心，绳子拉力对m做负功，所以m不可能无限扩张。在某一时刻，m径向速度为零，不再远离圆心，设此时半径，角速度速度，线速度为（注：此时）。 由能量守恒定律得： 角动量守恒： 由⑨、⑩可以求出，此时如果满足： 则之后稳定为匀速圆周运动。 如果不满足，m就应该接下来应该是近心运动。能近到什么程度呢？假设最小半径小于原来的，根据角动量守恒可知，在m运动到半径为时，此时的切向速度显然等于，但由于还有径向速度，所以系统能量是不守恒的。同理可以推出最小半径不可能大于。由此可以推测，最小半径还是是。可以猜想，m的最终轨道可能是一个圆，也可能是椭圆（该模型与行星运动相似，所以猜测第二种的可能性更大）。事实上最终的轨道不可能是圆。推理如下： 由⑨、⑩联立，消去，可得： 即合外力大于所需向心力，m在最远处后只可能是近心运动。 但究竟是不是椭圆轨道呢？如果m受力与行星受力相似，即与距离的平方成反比或者径向加速度大小与距离的平方成正比的话，这就有很大可能性了。 当半径为时，速度为，根据能量守恒定律，可得： 角动量守恒定律，可得： (2)代入（1），并求导化简，得： 由此可知，径向加速度： 显然并不是与成反比，小球不是像行星在圆周轨道上运动时，加速就能进入椭圆轨道那样。 结语：可以继续猜想，小球的运动可能具有对称性，会在“近日点”、“远日点”来回转动，下面的物体也就是上下运动。只是小球运动的轨道有些复杂。 图1 光滑水平面上物体m做匀速圆周运动