论有限元方法的基本原理及其在材料科学中的应用.doc

论有限元方法的基本原理及其 在材料科学中的应用现状 姓名：--- 学号：06111---- 专业：材料科学与工程 材 料 科 学 与 技 术 学 院 2015年4月17日 摘要：介绍了有限元法 ( FEM :Finite Element Method ) 的基本原理、特点、应用现状等。 关键词：有限元法、特点、应用。 1.有限元方法的基本原理、基本思路、应用过程、特点 1.1有限元方法的基本原理 有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。物体被离散为更小的单元后, 通过对各个单元进行分析, 把单元分析结果组合就得到对整个分析对象结构的分析。这种方法适合解决区域比较复杂的微分方程的定解问题。有限元单元能按不同的联结方式进行组合, 且单元本身又可以有不同的形状, 因而可以模型化几何形状复杂的求解区域, 而另一个重要的数值方法有限差分法也有将连续函数离散化的思想, 但在处理复杂边界时仍存在困难, 其在网格划分方面远不及有限元法灵活。 有限元法的一个重要特点是利用在每一个单元内的近似函数来分片地表示全求解域上的待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个结点的数值和其插值来表示。这样一来, 在一个问题的有限元分析中, 未知场函数或其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量, 使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一旦求解出这些未知量, 就可以通过插值函数计算出各个单元内的场函数的近似值, 从而得到整个求解域的近似值。 在用单元把求解区域离散化方面, 存在一个自由度数量的选取问题, 自由度选得太少, 近似解的误差大, 有时结果根本没有应用价值;自由度取得多, 解的近似程度相应增大, 但会导致求解方程的规模增大,以至于计算机无法胜任, 所以有限元的发展、完善和应用与计算机技术的发展密切相关。近 20 年来, 计算机的运算速度和存储容量以惊人的速度提高, 使得有限元法的求解能力迅速提高, 十几年前, 求解问题的自由度规模大多数在几千个左右, 现在人们已经开始进行几十万自由度以上规模问题的分析研究。 1.2有限元方法的基本思路 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法,他是通过计算机采用分片近似,进而逼近整体的研究思想 求解物理问题。先将物体或求解域离散为有限个互不重仅通过节点 相互连接的子域,原始边界条件也被转化为节点上的边界条件。在单元上选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的 变量改写成由各变量或其倒数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权残值法,建立有限元方程,从而将微 分方程转化为一组以变量或其倒数的节点值为未知量的代数方程组。进而借 助矩阵表示和计算机求解代 数方程组得到原问题 的近似解。有限元法的离散对单元没有限制,单元可以为不同形状,且不同单元可以相互连接组合,而且,随着区间离散数目越多,折线越逼近真实函数,计算精度就越高。 1.3有限元的应用过程 应用于实际问题须经历以下过程： (1) 问题的数学描述。对问题客观规律的数学描述(通常是微分方程及边界条件)是建立有限元方程的前提。单元特性矩阵和整体有限元方程都是基于数学模型建立的。常见的弹性力学基本方程、运动方程、热传导方程等都是对客观现象的数学描述。 (2) 有限元方程的建立。利用变分原理, 通过离散、单元分析、整体分析等过程, 建立数学模型的有限元方程, 它通常是一组易于用数值方法求解的代数方程。 (3) 算法研究。 有限元方程的计算量庞大, 须有有效的算法来保证计算效率和精度, 同时考虑对计算条件的要求。如求解大型线性方程组的带宽法、波前法, 求解大型特征值问题的分块 Lanczos 法等。 (4) 程序开发。 数值计算依赖于计算机, 因此求解算法需用相应的计算程序来实现。 (5) 有限元建模。对应于 FEA 系统的前处理(Pre - pro-cessing)。它为数值计算提供所有原始输入数据(节点数据、单元数据和边界条件数据)。 因为模型形式直接决定计算精度和规模, 且建模所需时间约占整个 FEA 的 70%左右, 所以建模质量和效率是 FEA 的关键。图 2 列出了有限元建模中的关键技术。 (6) 数值计算。对应于FEA系统的计算(Solving)。它由一系列计算程序组成, 计算程序又称求解器(solver)。每个求解器完成特定类型的计算。因此求解器越多, 系统功能越强。 (7) 结果处理。对应于FEA系统的后处理(Post - pro-cessing)。它对计算结果进行处理、显示