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* * 一、对偶问题的提出 1、? 对偶思想举例 周长一定的矩形中,以正方形面积最大;面积一定的矩形中,以正方形周长最小; Chapter 3 LP的对偶问题 2、? 换个角度审视生产计划问题 例2-1要求制定一个生产计划方案,在劳动力和原材料可能供应的范围内,使得产品的总利润最大 。 9 3 现有资源 3 7 1 丙 3 4 1 乙 2 1 1 甲 单位利润 原材料 人力 资源 产品 若工厂自己不生产产品甲、乙和丙,将现有的工时及原材料转而接受外来加工时,工厂要求包工及原材料的总价格最低。 对偶变量的经济意义可以解释为 对工时及原材料的单位定价 ; (用于生产第i种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润) 当原问题和对偶问题都取得最优解时,这一对线性规划对应的目标函数值是相等的: Zmax=Wmin=8 考察原问题和对偶问题的解,给作决策的管理者另一个自由度; ?怎样通过增加更多的资源来增加利润? ?怎样使用不同类型的资源来增加利润? 30 0.3 3250 1.5 丁 0 0.68 1750 0.9 丙 7.5 0.27 1500 0.5 乙 17.5 0.6 1000 0.8 甲 Vc Vb Va 价格 例2-2 采购甲、乙、丙、丁4种食品量分别为x1,x2,x3,x4,在保证人体所需维生素A(4000)、B(1)、C(30)前提下,使总的花费最小。 3、饮食与营养问题 换一个角度,生产营养药丸的制药公司力图使营养师相信,各种营养药丸勿须通过多种食品的转换就能供营养师调剂。 制药公司面对的问题是为营养药丸确定单价,以获得最大的收益,同时与真正的食品竞争。 于是,营养药丸的单位成本不能超过相应食品的市价。 1. 对称形式的对偶关系的矩阵描述 (D) (L) 怎样从原始问题写出其对偶问题? ? 按照定义; ?记忆法则: “上、下”交换,矩阵转置, 不等式变号,“极小”变“极大” 二、对偶问题的一般形式 例2-3 写出下面线性规划的对偶问题: 2、非对称形式的对偶关系: (1) 原问题 对偶问题 (特点:对偶变量符号 不限,系数阵转置) (特点:等式约束) (2)怎样写出非对称形式的对偶问题? ?把一个等式约束写成两个不等式约束,再根据对称形式的对偶关系定义写出; ?按照原始-对偶表直接写出 ; (3)原始-对偶表 约束条件数:n个 决策变量数:n个 对偶变量数:m个 约束条件数:m个 目标函数 Max 目标函数 Min 对偶问题(或原问题) 原问题(或对偶问题) 课堂练习:写出下面线性规划的对偶规划: 三、对偶定理 对偶定理是揭示 原始问题的解与对偶问题的解之间重要关系的 一系列定理。 定理3-1 对称性定理—— 对偶问题的对偶是原问题。 定理3-2 弱对偶定理——若一对对称形式的对偶线性规划 (L) 和 (D) 均有可行解,分别为 和 ,则 该结论对非对称形式的对偶问题同样成立。 定理3-3 最优性准则定理 若 、 分别为一对对偶线性规划的可行解,且两者目标函数的相应值相等,即 ,则 , 分别为原始问题和对偶问题的最优解。 定理3-4 强对偶定理 若原始问题和对偶问题两者均可行,则两者均有最优解,且此时目标函数值相同。 不可行 不可行 无界 不可行 不可行 无界 有最优解 有最优解 对偶问题 原始问题 LP原始问题与对偶问题的关系: (P) 和 (D) 定理3-5 设 分别是原问题(P) 和对偶问题(D)的可行解,则 为(P)和(D)最优解的充要条件是
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