最优化LP对偶原理.ppt

* * 一、对偶问题的提出 1、? 对偶思想举例 周长一定的矩形中，以正方形面积最大；面积一定的矩形中，以正方形周长最小； Chapter 3 LP的对偶问题 2、? 换个角度审视生产计划问题 例2-1要求制定一个生产计划方案，在劳动力和原材料可能供应的范围内，使得产品的总利润最大 。 9 3 现有资源 3 7 1 丙 3 4 1 乙 2 1 1 甲 单位利润 原材料 人力 资源 产品 若工厂自己不生产产品甲、乙和丙，将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，工厂要求包工及原材料的总价格最低。 对偶变量的经济意义可以解释为 对工时及原材料的单位定价 ； （用于生产第i种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润） 当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线性规划对应的目标函数值是相等的： Zmax=Wmin=8 考察原问题和对偶问题的解，给作决策的管理者另一个自由度； ?怎样通过增加更多的资源来增加利润？ ?怎样使用不同类型的资源来增加利润？ 30 0.3 3250 1.5 丁 0 0.68 1750 0.9 丙 7.5 0.27 1500 0.5 乙 17.5 0.6 1000 0.8 甲 Vc Vb Va 价格 例2-2 采购甲、乙、丙、丁4种食品量分别为x1，x2，x3，x4，在保证人体所需维生素A(4000)、B(1)、C(30)前提下，使总的花费最小。 3、饮食与营养问题 换一个角度，生产营养药丸的制药公司力图使营养师相信，各种营养药丸勿须通过多种食品的转换就能供营养师调剂。 制药公司面对的问题是为营养药丸确定单价，以获得最大的收益，同时与真正的食品竞争。 于是，营养药丸的单位成本不能超过相应食品的市价。 1. 对称形式的对偶关系的矩阵描述 （D） （L） 怎样从原始问题写出其对偶问题？ ? 按照定义； ?记忆法则： “上、下”交换，矩阵转置， 不等式变号，“极小”变“极大” 二、对偶问题的一般形式 例2-3 写出下面线性规划的对偶问题： 2、非对称形式的对偶关系： （1） 原问题 对偶问题 （特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置） (特点：等式约束) （2）怎样写出非对称形式的对偶问题？ ?把一个等式约束写成两个不等式约束，再根据对称形式的对偶关系定义写出； ?按照原始-对偶表直接写出 ； （3）原始-对偶表 约束条件数：n个 决策变量数：n个 对偶变量数：m个 约束条件数：m个 目标函数 Max 目标函数 Min 对偶问题（或原问题） 原问题（或对偶问题） 课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划： 三、对偶定理 对偶定理是揭示 原始问题的解与对偶问题的解之间重要关系的 一系列定理。 定理3-1 对称性定理—— 对偶问题的对偶是原问题。 定理3-2 弱对偶定理——若一对对称形式的对偶线性规划 （L） 和 （D） 均有可行解，分别为 和 ，则 该结论对非对称形式的对偶问题同样成立。 定理3-3 最优性准则定理 若 、 分别为一对对偶线性规划的可行解，且两者目标函数的相应值相等，即 ，则 ， 分别为原始问题和对偶问题的最优解。 定理3-4 强对偶定理 若原始问题和对偶问题两者均可行，则两者均有最优解，且此时目标函数值相同。 不可行 不可行 无界 不可行 不可行 无界 有最优解 有最优解 对偶问题 原始问题 LP原始问题与对偶问题的关系： （P） 和 （D） 定理3-5 设 分别是原问题（P） 和对偶问题（D）的可行解，则 为（P）和（D）最优解的充要条件是