有限元分析中的单元性质特征与误差处理.ppt

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6.6C0和C1型单元 C0型单元 在泛函中位移函数的最高阶导数为1,在交界面上具有0阶的连续导数,即节点上仅仅要求位移连续。 杆单元、平面问题单元、空间问题单元等 6.6C0和C1型单元 C1型单元 在泛函中位移函数的最高阶导数为2,在交界面上具有1阶的连续导数,即节点上除要求位移连续外,还要求1阶导数连续。 梁单元、板单元、壳单元等 6.7单元的拼片试验 由于非协调单元之间的位移不能保证位移协调,可以通过拼片试验来考证是否能描述常应变和刚体位移,若能通过拼片试验,则解得收敛性就能得到保证。 如图所示的单元状况,其中至少一个节点被单元所完全包围,若节点i完全被单元所包围,节点i的平衡方程为 对于非协调单元,需要考察它的收敛性,即考察它是否具有常应变的能力,因此,我们设计这样一个试验(拼片试验): 当对单元片中的各个节点赋予对应于常应变状态的位移和载荷值时,核对对i点平衡方程的正确性,如果能够满足,也就是单元满足常应变要求,因此当单元尺寸不断减小时,有限元解能够收敛于真正解。 以平面问题为例 由片面问题的平衡方程可知,当单元内的应变或应力都为常数时,则对应的体积力为零。对应于图中的i点,它的边界力也为零,因此 。所以此时,通过拼片试验的前提是,当赋予各节点以上位移模式的位移时,i点的平衡方程变为 即必须在节点i施加附加约束,该约束力所作的功等于单元交界面上位移不协调引起的附加应变能。 仍以平面问题为例 由片面问题的平衡方程可知,当单元内的应变或应力都为常数时,则对应的体积力为零。对应于图中的i点,它的边界力也为零,因此 。所以i节点以外节点有以上位移模式的位移时,对于i点的平衡方程 如果求解上式得到的位移值和常应变状态下的位移相一致,则认为通过拼片试验。否则认为不能通过拼片试验。 6.8有限元数值解的精度与性质 求解精度估计 以平面问题为例,单元的位移场可以展开成以下形式 如果单元尺寸为h,则上式中的Δx和Δy都是h量级,若单元的位移函数采用p阶完全多项式,即它能逼近上述泰勒级数的前p阶多项式,那么位移解u的误差将是O(hp+1)量级。 3节点3角形单元(p次多项式): 量级 位移 应变 应变能 误差 收敛速度 误差 误差 h/1量级: O(h2) O(h2) O(h) O(h2) h/2量级: O(h2/4) 。。。 。。。 。。。 h/3量级: O(h2/9) 。。。 。。。 。。。 h/4量级: O(h2/16) 。。。 。。。 。。。 这里讨论的都是仅仅局限于网格的离散误差,即当一个连续的求解域被离散成有限个子域,由单元的试函数来逼近整体的域的场函数所引起的误差。另外,实际误差还应该包括计算机的数值运算误差。 精确解与不同网格计算结果之间的关系 有限元分析的下限性质 有限元是把结构无限多的自由度简化为有限多的自由度,结构的刚度被夸大了,即使是用无限多个自由度来描述,也必然使得原系统刚度增加,变得更加刚硬,即刚度矩阵的总体数值变大,由刚度方程知,计算出的位移结果偏小。 由于位移函数的收敛性准则包含完备性和协调性两方面的要求,而完备性要求比较容易满足,而协调性则较难满足,因此这往往是研究的重点。 位移解的下限性质是基于协调单元单调收敛的前提得到的,在有些情况下,使用非协调单元也可以得到工程上的满意解答,有时甚至更好,这是由于位移不协调引所造成的误差与其它误差相抵消的缘故。 6.9单元应力计算结果的误差和平均 应力结果的误差性质 对于弹性问题,其三大变量 对于一个具体问题,成了求δ2П关于的极值问题。它是一个误差泛函。 可见,对于求近似解极值的问题 从力学上看,是求位移变分引起的总势能为极小值的问题。 从数学上看,是求应变差和应力差在弹性矩阵加权意义下的最小二乘问题。 因此,应变和应力的近似解的性质,是在加权残值最小二乘意义上对真实应变和真实应力的逼近。 高斯点上的应力性质 高斯积分点上的应力和应变的 近似解将具有比其它位置高得 多的精度,这可以从图中看出。 公共节点上的应力平均 ①绕节点直接平均法 ②绕节点加权平均法,可以按体积或面积加权平均 ③二单元平均法 6.10控制误差和提高精度的h方法和p方法 h方法:不改变各单元基函数,只通过逐步加密单元使计算结果向正确解逼近。它往往采用比较简单的单元。一般可以将误差控制在5~10%范围内。 其收敛性比p方

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