期望与方差的性质.ppt

*? 例8. 已知 X 的密度函数为 其中 A，B 是常数，且 E( X) = 0.5. 求 A，B. (2)设 Y=X2, 求 E(Y), D(Y). *? 解: (1) *? (2) f (x) = (-6x2+6x)I(0,1) *? E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) E (X Y ) = E (X )E (Y ) . B. 数学期望的性质 ? E (aX ) = a E (X ) ? ? E (C ) = C ? 当X ,Y 相互独立时， ? *? 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立. 反例 X Y pij -1 0 1 -1 0 1 0 p? j pi? 注 *? X Y P -1 0 1 但 *? 若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0。 推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。 证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得： 所以 证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。 而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。 ? ? *? 性质2和3 性质4 例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。 解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3. *? 例2.(二项分布 B(n,p)) 设单次实验成功的概率是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？ 解: 引入 则 X＝ X1+ X2 +…+ Xn 是n次试验中的成功次数。 因此， 这里， X～B(n,p)。 *? 例3.将4 个可区分的球随机地放入4个盒子中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望. 解一:设 X 为空着的盒子数, 则 X 的概率分布为 X P 0 1 2 3 *? 解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4. Xi P 1 0 *? 例4.将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。 解: 引入随机变量: 则 X=X1+X2+…+XM , 于是 E(X) = E(X1)+E(X2)+ …+E(XM) . 每个随机变量Xi 都服从两点分布,i =1,2,…,M. *? 因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M). 故，n个球都不落入这个盒子内的概率为 (1-1/M)n ,即: *? 注：129页4.27以此题为模型。 *? 例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即 P{第k次生产出的产品是正品}= 假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。 解： 设X是前10次生产的产品中的正品数，并设 *? 例5.（续） *? 例6. 某厂家的自动生产线， 生产一件正品的概率为 p (0p1)，生产一件次品的概率为q=1-p。生产一件产品的成本为c元，正品的价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利s－c元， 生产一件次品亏损c元（假定每个产品的生产过程是相互独立的）。 若生产了N件产品，问厂家所获利润的期望值是多少？ *? 解：设第j个产品的利润 则 为N件产品的总利润。 Yj -c s-c P q p 由已知 *? 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的. §4.2 随机变量的方差 *? 例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近， 所以乙炮的射击效果好. 中心 中心 *? 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们下面要介绍的 方差 *? 设随机变量X的数学期望为E(X), 若E(X-E(X))2存在, 则称它为X 的方差（此时，也称X的方差存在)，记为Var(X) 或D(X) , 即