通过状态变量计算IIR滤波器的输出.doc

通过状态变量计算IIR 系统的输出 教材第四章已经介绍了IIR系统的直接型结构。这里再简单地回顾这种结构，然后阐述编程方法。 数字系统的系统函数可以写为 （1） 式中，子系统 （2） 由系统函数的零点决定。而子系统 （3） 则由系统函数的极点决定。 式（5）中，写在的左边，表示先实现零点，后实现极点。这样的结构称为IIR系统的直接形式Ⅰ。图1示出这种结构，框中标出用于编程的状态变量，详见下文。 图1 IIR系统的直接形式Ⅰ 对于线性时不变系统来说，上述两个子系统的次序可以调换，即 （4） 这时，先实现系统的极点，后实现零点。对应于式（4）的结构示于图2。合并图中的延迟支路即得图3。这样的结构称为IIR系统的直接形式Ⅱ，又名典范形式、正准型。IIR直接形式通常是指直接Ⅱ型。 直接Ⅱ型有以下特点： 所需要的延时单元最少。 系统调整不方便（调整任何一个系数都会影响全部零、极点） 受有限字长影响大。 图2 与图1等价的结构 图3 IIR系统的直接形式Ⅱ 根据给定的系统结构和输入序列，怎样列出差分方程，求出输出序列？ 下面给出的程序有助于读者掌握这种方法。这个程序计算图1所示IIR直接形式Ⅰ的输出序列，演示状态变量的用法。 通过编程来实现数字网络时，最好在网络中设定状态变量。所谓状态变量就是状态节点变量。一个网络有许多节点，但不都是状态变量节点。状态变量是一组根据已知输入和初始状态，可以计算出输出信号及系统内部任意节点变量值的最少节点变量。图1设定7个状态变量，即。下面给出用C语言编写的函数dir1，。调用这个函数可以实现图1所示IIR直接形式Ⅰ。 函数dir1的参数意义如下： Points : 输入参数，输入输出序列点数 Order : 输入参数，系统阶数 H0 : 输入参数，系统函数的常数因子 N[] : 输入参数，系统函数的分子多项式系数组 D[] : 输入参数，系统函数的分母多项式系数组 x[] : 输入参数，输入序列 y[] dir1的运行过程如下： 将状态变量数组 和 初始化为0。 对输入序列每一个样点 求输出y[i] = N[0] * x[i] * H0 累加系统函数的分子多项式对输出y[i]的贡献。 累加求系统函数的分母多项式对输出y[i]的贡献。 刷新状态变量数组（请注意刷新顺序：下标值最大的状态变量先被刷新） // 求直接 1 型 IIR 系统的输出 void dir1(int points, int order, double H0, double N[], double D[], double x[], double y[]) { int i, j, k; double u[20], v[20]; for(i = 0; i=order; i++) // 状态变量 { u[i] = 0; v[i] = 0; } for(i = 0; i points; i++) // 计算每一个输出点 { y[i] = N[0] * x[i] * H0; for(j = 1; j= order; j++) y[i] = y[i] + u[j] * N[j]; for(k = 1; k= order; k++) y[i] = y[i] - v[k] * D[k]; // 状态变量刷新 for(j = order; j=2; j--) { u[j] = u[j - 1]; v[j] = v[j - 1]; } u[1] = x[i] * H0; v[1] = y[i]; } } 下面介绍IIR系统的级联实现形式。在这种形式中，系统函数被分解为零、极点形式，即 （5） 实际上，对IIR 滤波器来说，其系统函数的分子分母多项式是同阶的，即。式（5）中，是零点数组，是极点数组。系统的零、极点可能是复数。但由于和是实数数组，所以复数零、极点必将是共轭成对的。合并共轭成对的