马格努斯效应及香蕉球.docVIP

马格努斯效应和“香蕉球”现象 陈朝晖 刘天然 李明杰 万凯 王智峰 刘俊明 摘要：旋转圆柱绕流后会产生升力的现象称为马格努斯（Magnus）效应，足球比赛中的“香蕉球”现象就可以用这种原理解释。本文通过流体力学和理论力学的相关知识，讨论了在理想情况下足球运动员的出球速度，角度，转速等与球——门的方位关系间的数学表达式。最后讨论在实际情况中这个数学表达式的具体应用。 关键词：　马格努斯效应　　香蕉球　　雷诺数 偏心角 出球角 上挑角 正文： 现象的动力学解释 当足球运动员判罚任意球时，射手前面筑起了人墙，大家都很紧张。这时候，射手踢出一个带有旋转的球，巧妙地绕过人墙，守门员来不及反应，足球以刁钻的角度直接入网。 足球在空气中只受地心吸力的影响，所以应该沿拋物线运动。但是，足球却真的向内弯了，代表它受到一个水平方向的力，这个力从何而来呢？ （1） （2） 图一：足球在没有旋转下水平运动的情形(在此图中球正在向下运动) 图中的线代表的是空气流动的情形。足球在没有旋转下水平运动的情形，当足球向前运动，空气就相对于足球向后运动。 图二：足球只有旋转而没有水平运动的情形 足球只有旋转而没有水平运动的情形，当足球转动时，四周的空气会被足球带动，形成旋风式的流动。 （3） 图三：「香蕉球」-足球水平运动和旋转两种运动同时存在的情形 图三代表水平运动和旋转两种运动同时存在的情形，也即是“香蕉球”的情形。足球在空中的运动过程，可以视为重力场中质量均匀分布的球体在流体（空气）中的运动过程。一般说来，在流体中运动的物体要受到浮力，升力，阻力，阻力矩等作用。流体具有粘滞性，因此，有阻力施加于物体上。研究表明：低雷诺数时阻力与速度的一次方成正比，高雷诺数时阻力与速度的二次方成正比。若足球向前飞行时不产生绕对称轴的旋转（如图一所示），则周围空气对足球运动的影响只是减慢球的飞行速度，其在空中的运动轨迹为一平面曲线，不会出现香蕉球。如果足球在空中运动时，一边向前飞行，一边绕对称轴旋转，则由于足球的旋转和空气粘性的共同作用，在足球周围的附面层内产生环流，前方来流和环流共同作用的结果，在来流和环流同方向的一侧，流速加快，在反方向的另一侧，流速减慢。根据伯努利原理，流速加快的一侧压力下降，流速减慢的另一侧压力升高，两侧的压力差对足球产生侧向作用力称为马格努斯力，方向与足球的瞬时转轴垂直，且与足球的运动方向垂直。 因此，若足球右面空气流动的速度较左面大。根据流体力学的伯努利方程，流体速度较大的地方气压会较低，因此足球右面的气压较左面低，产生了一个向右的力。结果足球一面向前走，一面承受一个把它推向右的力，使足球运行轨道弯曲。在日常生活中我们也经常应用这个原理使物体在流体中的运动方向改变，例如飞机和帆船的运动都是基于这个原理。 对香蕉球现象的定量计算 在实际情况中，由于考虑到场地因素，空气阻力及球转速的变化，我们不可能将实际的情况完全定量计算出来，但我们可以对于一些次要因素简单化甚至完全忽略，下面我们将在理想情况下对这个过程进行定量计算，然后应用所得结论对实际情况中的现象进行讨论分析。 我们讨论的理想情况： 空气具有粘性，所以球在飞行过程中要受到阻力作用，但由于球的飞行时间很短，所以它的飞行速度变化很小，故考虑足球在飞行过程中水平分速度不改变； 为使足球旋转，球员给足球的力的方向不能通过球心，这样才能让足球产生旋转。实际上球的转轴在X-Y-Z方向上都有分量，由于马格努斯效应产生的使足球前冲的力和下坠的力对球速影响很小，所以我们考虑球在竖直方向只受重力的作用，球的转轴只有Z方向，即垂直于地面方向，这样才会只产生垂直于运动方向的水平升力。 球员通过脚背给足球的力实际上是复杂多变的，在这里我们把这个力理想成作用在一个点上的均匀力，它可以分解为使球向上和向前的冲力和使球旋转的切向力。 在上述假设的基础上，我们可以设出球员出球时的几个变量： （力的方向与作用点和球心连线的夹角） 即出球角（球的初速度在水平方向的投影与L的夹角） （球的初速度与地面的夹角） 几个不变量分别为： 足球的水平切向力为 ，上挑力为 水平切向力所产生的水平旋转，根据动量矩定理有 将足球看成是均匀的球壳，则它的转动惯量为 可得球的转动角速度为 因为我们只考虑球在z轴方向的角速度，故 ① 根据动量定理，球的初速度为 则球的水平初速度为，竖直初速度为 由于我们已经假设足球在飞行过程中水平分速度不改变，也就是说在球的飞行轨迹上切向速度始终为V1。由于竖直方向