概率论与数理统计期望.ppt

前两章讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特征，但在一些实际问题中，随机变量的分布函数并不容易求得；另一方面，在一些实际问题中，我们往往并不直接对分布函数感兴趣，而只对分布的少数几个特征指标感兴趣，例如分布的中心位置，分散程度等等，一般称之为随机变量的数字特征，而这些数字特征在理论和实践中都具有十分重要的意义。本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数和矩。 第一节 数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 我们希望引进这样一个特征数字，它能反映随机变量X所取数值的集中位置，就象力学系统中的重心反映该系统质量的集中位置一样，在概率论中，这样一个数字就是随机变量的数学期望（也称平均值）.先看一个例子。 观察一名射手20次射击的成绩如下： 我们知道，当试验次数增大时，频率的稳定值就是概率，那么完整描述该射手真实水平的是其射中各环数的概率分布，相应地，观察到的平均中靶环数?x 随试验次数增大必将趋于一个稳定值，设中靶环数X（观察之前为随机变量）的分布律为： P{X=i}=pi, i=0,1,2,…,10, 定义中“绝对收敛”这一条件，是为了保证E(X)的值不因求和的次序改变而改变，期望公式(1)实际上是随机变量X的取值以概率为权的加权平均，它也有一个物理的解释。 例1 X~b(1,p), 求E(X)解 因X有分布律 例2 设X~p(l), 求E(X)解 X的分布律为 例3 甲乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品，用X1,X2分别表示甲、乙两人某天生产的次品数，经统计得以下数据： 解 根据定义，X1的数学期望 E(X1)=0?0.3+1?0.3+2?0.2+3?0.2=1.3 E(X2)=0?0.2+1?0.5+2?0.3+3?0=1.1所以甲的技术水平比乙低。 二、连续型随机变量的数学期望 现在我们给出连续随机变量的数学期望的定义。 设连续随机变量X的概率密度为f(x), 随机变量X落在小区间(x,x+Dx)内的概率近似f(x)Dx, 所以，连续随机变量的数学期望可以定义如下： 从几何意义来说，连续型随机变量X的数学期望E(X)就是概率分布曲线y=f(x)与x轴之间的平面图形的重心的横坐标，这是因为上述平面图形的面积为 例4 设随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布，求E(X).解 由题意知，X的概率密度为 例5 设X服从参数为l(l0)的指数分布，求E(X).解 由题意知，X的概率密度为 例6 设随机变量X服从柯西分布(Cauchy)，概率密度为 三、二维随机变量的数学期望对二维随机变量(X,Y)，定义它的数学期望为E(X,Y)=(EX,EY).设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,….则 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则 例7 设(X,Y)的密度函数为 解 如图所示 四、随机变量函数的数学期望为了计算随机变量函数的数学期望，我们可以先求出随机变量函数的分布律或概率密度，然后按公式(1)或(2)计算数学期望。但是，也可以用下面介绍的几个定理直接计算随机变量函数的数学期望。 例8 设随机变量X的分布律为 求随机变量函数Y=X2的数学期望．解 用两种方法计算方法１ 先求Y的分布律为 求随机变量函数Y=X2的数学期望．解 用两种方法计算方法2 由公式(7)得E(Y)=(-2)2?0.10+(-1)2?0.20+02?0.25+ 12?0.20+22?0.15+32?0.10 =2.30 例9 设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望.解 仍用两种方法计算：方法1 先利用分布函数法求得Y的概率密度为 例9 设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望.解 仍用两种方法计算：方法2 由题意知，X的概率密度为 例10 设X~N(0,1), 求E(X),E(X2).解 定理3 设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij,i=1,2,…,j=1,2,…, g(x,y)是实值连续函数，且级数 定理4 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y), g(x,y)是实值连续函数，且广义积分 例12 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别是 方法2 因为随机变量X与Y是相互独立的，所以二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 五、数学期望的性质数学期望的几个重要性质:1? 设C是常数，则有E(C)=C. (11)2? 设X是一个随机变量，C是常数，则有 E(CX)=CE(X) (12)3? 设X,Y是两个随机变量,