大学数学系课件 计算方法（B）.ppt

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 计算方法（B） 主讲：张瑞 第0章 绪论 计算方法的作用 计算方法的内容 误差 一些例子 现实中，具体的科学、工程问题的解决： 实际问题 物理模型 数学模型 数值方法 计算机求结果 计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法 数值 分析 输入复杂问题或运算 ? ? ? ? 计算机 近似解 计算方法的特性 理论性：数学基础 实践性 计算方法连接了模型到结果的重要环节 随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数值分析方法。 学习的目的、要求 会套用、修改、创建公式 编制程序完成计算 课程评分方法 (Grading Policies) ? 总分 (100) = 平时作业(20)+上机作业(15)+期末 (65) 3、到网站 / 上提交作业 上机作业要求 1、编程可以用任何语言； （C,C++,Matlab,Mathematica,Delphi,Fortran,等）不允许使用内置函数完成主要功能 2、结果输出要求小数点后至少13位 内容 2、数值代数－线性代数的数值求解，如解线性方程组、逆矩阵、特征值、特征向量 3、微分方程－常微分，Runge-Kutta法、积分法 1、数值逼近－数学分析中的数值求解，如微分、积分、 100亿/秒，算3,000年，而Gauss消元法2660次 误差 绝对误差 设 为精确值， 为近似值， 为误差或绝对误差 例如： 作Taylor展开， 舍弃，即为误差 相对误差 称为相对误差 150分满考139，100分满考90，两者的绝对误差分别 为11和10，优劣如何？ 前者相对误差(150－139)/150=0.073， 后者相对误差(100-90)/100=0.100 有效位数 当x的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个非零位的位数称位x的有效位数。 有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差 的近似值3.141具有几位有效位数？ 的近似值3.142具有几位有效位数？ 误差来源 原始误差－模型误差（忽略次要因素，如空气阻力）物理模型，数学模型 方法误差－截断误差（算法本身引起） 计算误差－舍入误差（计算机表示数据引起） 误差的运算 1、 两相近数相减，相对误差增大 2、 例子 求根 3、 小数作除数，绝对误差增大 误差的运算 一些例子 1、 则，我们有 构造方法如下： 1. 2. n 0 0.182 0.182 0.182 1 0.088 0.090 0.088 2 0.058 0.050 0.058 3 0.0431 0.083 0.0431 4 0.0343 -0.165 0.0343 5 0.0284 1.025 0.0284 6 0.024 -4.958 0.024 7 0.021 24.933 0.021 8 0.019 -124.540 0.019 原因：对格式1，如果前一步有误差， 则被放大5倍加到这一步 称为不稳定格式 稳定格式，对舍入误差有抑制作用 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。 2、 有时候，模型本身就是病态 （系数引入小变化，解产生大变化） 例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！ NY BJ 以上是一个病态问题 /* ill-posed problem*/ 关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！ Lab 01. 级数计算[Hamming (1962)] x = 0.0,0.5,1.0; ,10.0,100.0,300.00.绝对误差小于1.0e-6. 输出? 两列输出： x 和 ?(x) 如 C fprintf: fprintf(outfile,“%6.2f?,?%16.12e\n,x,psix);/* here?represents a space */ Sample Output (? represents a space) ??0.00?,?0.644934066848e+001 ??0.10?,?0.534607244904e+001 ... ??1.00?,?0.99999900000e+001 ??10.00?,?0.000000000000e+001 ... ?? 300.00?,?0.20942212934e-00