25 小教数学之 构图布数问题.doc

25? 构图布数问题 ?【含义】??? 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。 ? ?【数量关系】?? 根据不同题目的要求而定。 ? ?【解题思路和方法】? 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。 ? ?例1??? 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。 ?解? 符合题目要求的图形应是一个五角星。 ??????????????????????? 4×5÷2＝10 ???????????? 因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。 ? ?例2??? 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。 ?解? 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形， ????? 一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。 ? ?例3??? 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。 ?解? 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。???? 4×3－3＝9 ? ?例4??? 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。 ?解? 共有五种写法，即? 12＝1＋4＋7?? 12＝1＋5＋6?? 12＝2＋3＋7 ???????????????????????12＝2＋4＋6?? 12＝3＋4＋5 ?在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形： ? ???? 26? 幻方问题 ?【含义】??? 把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。 ? ?【数量关系】? 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。 ????????????????? 三级幻方的幻和＝45÷3＝15??? ????????????????? 五级幻方的幻和＝325÷5＝65 ? ?【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。 ? ?例1??? 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。 ?解? 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为 ???????? （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 ?九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。 ?设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以? （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4 2 7 6 9 5 1 4 3 8 ??????? 即?? 45＋3Χ＝60??? 所以???? Χ＝5 ??????????? 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们 ??????? 分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别 ??????? 在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。 ? ??? 例2??? 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中， ??????? 使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。 ??????????? 解? 只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为 ?????????????????? （2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18 ????假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和： ??????????????? 最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3 ????? ??????????最大数是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4 ??????????????? 最大数是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4 ??????????????? 最大数是7： 18＝7＋6＋5?????刚好写成8个算式。 ??? 首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。 9 2 7 4 6 8 5 10 3 然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9