1.3.1二式定理(学案).doc

二项式定理 学案 广东省信宜市第XX中学高二级数学组 陈XX 【教学目标】 【学情分析】 【教学重难点】 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 【教学过程】 情景设置 问题1：若今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢？ 预期回答：星期一 问题2：如果是15天后的这一天呢？ 预期回答：星期二，将问题转化为求“15被7除后算余数”是多少。 问题3：如果是天后的这一天呢？ 预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少，也就是研究的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。 2、新授 第一步：让学生展开 ； ； 公元1世纪《九章算术》其中提及： 尝试二项式定理的发现 ； ； 初步归纳出下式： （※） 练习：展开 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。 第二步：继续设疑 如何展开以及呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将中第一个括号中的字母分别记成；第二个括号中的字母分别记成；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算： ……… ……… ……… ……… ……… （设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。） 问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？ 问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？ 问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？ （预期答案： 有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。每个括号只能取一个字母，任取两个、两个，然后相乘，问不同的取法有几种？） 问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子： 括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。 呈现二项式定理——板书课题： 。 3、深化认识 请学生总结： ①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ ②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？ 由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。 （设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。） 4、巩固应用 【例1】展开① ② 【例2】①求的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。 ②求的展开式中含项的系数。 变式：在二项式定理中，令，得到怎样的公式？ 思考：为什么？ 【例3】解决起始问题：， 前面是7的倍数，因此余数为，故应该为星期二。 说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。 四、课堂小结 ①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。 ②二项式定理的表达式以及展开式的通项， ③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”， ④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。 二项式定理 由多项式乘法法则得(a+b)2的展开式： (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2； 从上述过程中可以发现，(a+b)n是n个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)相乘时有两个选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b选定后，才能得到展开式的一项，由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。 探索(a+b)4的展开式的形式。 4个括号中取a和取b的个数和为4，即每一项的形式是a4-kbk， （1）k=0时，a4-kbk=a4，四个括号中全都取a，相当于取0个b，有C40项a4，即a4的系数为得：C40； （2）k=1时，四个括号中有1个取b，剩下的3个取a，得：C41a3·C3 （3）k=1时，四个括号中有2个取b，剩下的2个取a，得：C42a2·C22 （4）k=3时，四个括号中有3个取b，剩下的1个取a，得：C43a·C11 （5）k=4时，四个括号中全都取b，得：C