中国古代对度的认识.doc

中國古代對角度的認識 李國偉 一、角的定義 　　除了點、線、面、體之外，角度應該是人類幾何直覺不難掌握的一個概念。但是在中國古典的天文、曆學與數學中，角度的認識似乎有欠圓滿。錢寶琮曾說︰「中國古代不知利用角度，然有《周髀》測望術，日、月、星辰在天空中地位，亦大概可知矣。」〔註1〕他還說︰「在後世數學書中，一般角的概念沒有得到應有的重視。」〔註2〕關增建則說︰「中國古代 365 分度方法對於確定天體空間方位是有效的，惟其有效，才阻滯了其他分度方法的產生，導致了角度概念的不發達。」〔註3〕黃一農認為：「中國古代的天文家在明末西學傳入之前，一直未發展出近似西方幾何學嚴整的角度概念。當量度星體的角大小或兩點間的角距離時，文獻中所用古度值的意義常因人而異，有時近於現代的角度值，有時卻直接以渾儀環上的刻劃差來表示，故當以窺管測極星距極度或日、月的體徑時，其值往往較今幾何學中的角度值大一倍左右。」〔註4〕劉君燦更進一步斷言：「中國除了直角之外沒有一般的角度觀念。」〔註5〕 　　其實角度比點、線等基本幾何概念的內涵更為豐富，因此可以從邏輯上等價，但著眼點迥異的方向來認識它。若要講究起來，現代數學甚至可由向量空間、旋轉群等出發，再逐步引入角度的概念。〔註6〕西方古典幾何學的代表作是歐幾里得的《幾何原本》，根據 Thomas L. Heath 的翻譯，定義八描述了平面角度的意義： A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.〔註7〕 　　這個定義在利瑪竇與徐光啟的《幾何原本》中譯為：「平角者，兩直線于平面縱橫相遇交接處。」〔註8〕並沒有點出「inclination」的意味。Heath 認為 inclination 是歐幾里得的創意，因為在他之前一般人是把角看作折曲或折斷的線。Heath 還綜述了西方古代對角度的種種不同看法，甚至角度應屬「質」、「量」還是「關係」哪一種範疇，也引起不少的議論。最後他引用十九世紀末 Schotten 的說法，把角度的定義方式劃分為三類： 　　（一）角是兩條直線方向間的差別。 　　（二）角是從一邊旋轉到達另一邊的量。 　　（三）角是兩條直線相夾的那部分平面。 　　既然西方幾何學中對角的認識也有幾套體系，我們似乎應該更致力釐清中國對角度理解的遞嬗與特色，而不必執著在古代是否有現代角度觀念的問題上。 二、技藝裡的角度 　　角是一個非常簡單而易見的幾何觀念，古代人民通過農具、兵器、車輛、樂器的製造不可能不發現角的存在。但是「角」這個字的原意，按《說文解字》是指「獸角」，最初並不用它來稱呼幾何量。《考工記》裡是以「倨勾」表示角度，倨表鈍，勾表銳，正如用「多少」表示量，「長短」表示長。《考工記》的《冶氏》有「已倨則不入，已勾則不決，……倨勾外博。……倨勾中矩。」《韗人》有「倨勾磬折」，《磬氏》有「為磬，倨勾一矩有半。」《車人》有「倨勾磬折，謂之中地。」可見「倨勾」是泛指直線的曲折程度，這有點類似歐幾里得以前希臘人對角的定義。《車人》中也記載了一些特殊的角，所謂「半矩謂之宣，一宣有半謂之欘，一欘有半謂之柯，一柯有半謂之磬折。」很多論述都由此推算出宣是45°，欘是67°30，柯是101°15，磬折是151°5230。不過脫離開技藝的場所，這些角度並沒有繼續發展下去。本來有機會作為一般角統稱的「倨勾」，後來也不見了蹤跡。這一脈最有可能與西方角度觀念合流的思路，在中國很令人惋惜的未能發揚起來。 　　《考工記》還有另一條可以發展出角度的脈絡。《築氏》有「合六而成規」，《弓人》有「為天子之弓，合九而成規。為諸侯之弓，合七而成規。大夫之弓，合五而成規。士之弓，合三而成規。」錢寶琮說：「這是用圓心角的大小來規定弓背的曲率。」〔註2〕似乎斷言過強了。我們只能說用圓弧的長度規定了弓背的彎曲程度，而圓弧有可能引出角度的觀念。即使沒有把圓心角明確的指出來，圓弧的度量也可以看作是一種與角度在邏輯上等價的系統。這種觀念在描述天球上星體的位置與運動方面，更有它不可磨滅的價值。 三、天文裡的「度」 　　中國古代天體運動的度量是以太陽的運動為定標準的依據。「天之動也，一晝一夜而運過周，星從天而西，日違天而東。日之所行與運周，在天成度，在曆成日。」〔註9〕這裡所成的度又如何確定呢？「曆數之生也，乃立儀、表，以校日景。景長則日遠，天度之端也。日發其端，周而為歲，然其景不復，四周千四百六十一日，而景復初，是則日行之終。以周除日，得三百六十五四分度之一，為歲之日數。日日行一度，亦為天度。」〔註10〕因此周天為三百六十五又四分之一度著眼點