二阶与三阶列式.doc

第一章 行列式 §1—1 二阶与三阶行列式 §1—2 全排列及其逆序数 §1—3 n阶行列式的定义 一、以自然数从小到大的次序为标准次序，求下列排列的逆序数。 1、52134 解：； 2、 解：； 3、 解：。 二、设排列的逆序数为，试求排列的逆序数。 解：若把这n个不同的元素按从小到大的顺序排列，则任意两个元素都构成一个逆序，其逆序数为，也即共有对数构成逆序；而在排列中，若和（）在排列中构成一个逆序，则在排列中就不构成逆序，而，表明在排列中共有对元素构成逆序，且这对元素在排列中必不构成逆序，故。 三、选择m和n使下列排列满足所给要求。 1、2145m69n7为奇排列 解：； 2.39m7215n4 解：。 四、确定五阶行列式中以下各乘积的符号。 1、 解：因为 ，而，故符号为正。 2、 解：因为 ，而，故符号为负。、 五、试写出四阶行列式中含的项。 解：， 六、若n阶行列式中，零的个数多于时，该行列式的值是多少？ 解：因为n阶行列式行列式共有个元素，而零的个数多于，则非零的个数比少于n个，由行列式的定义：（其中t为排列的逆序数），则中至少有一个元素为零，故该行列式的值为零。 §1—4 对 换 §1—5 行列式的性质 一、用行列式的性质求解下列各题 1、计算 解：原式 2、计算 解：原式 二、证明 证明： 三、解方程 四、证明 证明：左边右边。 五、计算下列阶和阶行列式。 1、 解：原式 2、 解：原式 §1—6 行列式按行（列）展开 §1—7 克莱姆法则 一、计算下列各题 1、设，求第一列的代数余子式的值。 解：； ； ； . 2、计算 解：原式= （利用范德蒙行列式的结果） 二、计算下列行列式 1、 （） 解：原式 2、 解：把中的第行依次与第行对调，作次相邻对换，得： 再把所得行列式中的第列依次与第行对调，作次相邻对换，得： 三、试讨论方程组有无非零解。 解：因为系数行列式为 故该方程组只有零解。 四、求解下列各题。 1、为何值时，齐次方程组有非零解。 解：要使该齐次方程组有非零解，则它的系数行列式，而 故由，解得或或。 2、用克莱姆法则解方程组。 解：因为系数行列式为 所以由克莱姆法则知该方程组有唯一解。 又由于 故该方程组的解为 第一章 复习题 三、求解下列各题： 1、计算 解：原式＝ 2、解方程 解：计算左边的行列式，按第一列展开得： 3、确定a的值，使得方程组有非零解 解：方程组有非零解，即系数行列式为零， 解得 4、计算 解：此行列式不是范德蒙得行列式，构造行列式如下： (1) 而， ∴ 四、证明下列各题： 1、证明： 证明：1）当时，将按第一列展开得：，由数学归纳法证明。 2）当时，将按第一列展开得：，由数学归纳法证明。 2、若n阶行列式中元素满足，则称该行列式为反行列式。试证明：奇数阶反对称行列式的值为零。 证明：设A为反对称行列式， ∴ 若n为奇数，则 五、为何值时，其次方程组有非零解 解：方程组有非零解，即系数行列式为零， ，∴ 六、求解线性方程组 解：利用克拉默法则，注意系数行列式即为第四大题第一小题的形式。 第一章 自测题A 二、计算题 1、 解：原式 2、 解：原式 ＝ (此行列式为范德蒙得行列式) 三、已知，求x的值 解：化简左边的行列式得： ∴(提示：将所有行加到第一行) 四、计算 解： 五、讨论当λ为何值时，方程组有唯一零解？有非零解？ 解： 第一章 自测题B 三、计算题： 1、求 解：分子 分母 原式＝ 2、设α、β、γ是三次方程的根，求行列式的值 解：由题设，三次方程可以写作， 其中，比较 3、计算的值 解： 四、证明下列恒等式： 1、 证明：利用数学归纳法，注意 2、 证明：， 3、 解：利用加边法