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偏微分方程求解方法及其比较 HYPERLINK 期刊门户-中国期刊网2008-12-11来源:《科海故事博览 科教创新》2008年第10期供稿文/曹海洋 吕淑娟 王淑芬 [导读]近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注. 摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。而这些方法的基础就是建立空间基函数。下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。1)? Chebyshev-Gauss:??2)? Chebyshev-Gauss-Radau:??? x0 =1,???? ??????? 3)? Chebyshev-Gauss-Lobatto:? x0 =1, xN =1,? ?4)Legendre-Gauss: xj 是 的零点且???? 5） Legendre-Gauss-Radau: xj 是 的N+1个零点且???????? 6）? Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是 的零点且?下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：? 其中：? ??Jacobi正交多项式满足正交性：????? 而Chebyshev多项式是令 时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令 时Jacobi多项式的特殊形式。2 几种典型的谱方法谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。从方程近似角度看，谱方法可分为在物理空间离散求解的Collocation法、在谱空间进行离散求解的Galerkin法，以及先在物理空间离散求积，再变换到谱空间求解的Pseudo-spectral法。Collocation法适用于非线性问题．Galerkin法适用于线性问题，而Pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。谱方法的特点是对光滑函数指数性逼近的谱精度；以较少的网格点得到较高的精度；无相位误差；适合多尺度的波动性问题；计算精度高于其他方法。快速傅立叶变化的提出大大促进了谱方法的发展，迄今已有各种的谱方法计算格式被提出．并被应用于天文学、电磁学、地理学等各种问题的计算。下面介绍一下应用于各个区域的几种谱方法：1） 以Fourier谱方法为例介绍谱方法解方程的主要过程以一阶波动方程为例：? ?? 其中u(x,t)为方程的解，L是包含u和u关于空间变量的导数的算子，除了方程以有初始条件和适当的边界条件。??????? 故可设 其中 为试探空间的基函数，ak(t)为展开系数，对于傅立叶谱方法中 的共轭 有：?其中 从而利用其正交性和周期性可以减少工作量，另外再结合边界条件就可以求出来。2) Galerkin方法是谱方法中十分经典的解偏微分方程的方法，但还有其局限性，而利用Hermite谱方法中依赖时间的权函数对经典的Galerkin方法进行拓展后的新的方法能适用范围扩大了很多。它能很好的应用在微分方程最优控制问题有限元方法