傅里叶变换FT和反变换IDFT.doc

有限离散傅里叶变换DFT和反变换IDFT 设ω=2π/ N (N∈N+ 且 N＞1) 旋转因子的周期性： 定长矢量r 以步长kω正方向（或负方向）绕圆周步进旋转N次回到原位，形成的N个等模矢量序列 r (0)，r (1)，r (2)，…，r (n)，…，r (N-1) k∈(0，1，…，N-1) 当k ≠ 0时，矢量序列均衡分布在圆周上，合矢量为0； 当N为素数时，对于任一k，圆周上总有N个均衡分布的矢量。 当N非素数时，m = Min(k，N-k )，且m N，圆周上有N个均衡分布的矢量。当N非素数时，m = Min(k，N-k )，且m | N，圆周上有N/m 个均衡分布，每个分布位有m个矢量重叠。（m | N 表m可整除 N，N是m的倍数） 当k = 0时，矢量序列均与r 重合，合矢量为N·r； 等模矢量序列r(0)， r(1)， r(2) ，…，r (n)，… ，r(N-1)，由r(0)旋转生成 k∈(0，1，…，N-1) 有m ∈(0，1，…，N-1)，分别将r (n)对应旋转nmω后： 当m≠k时，r (n) = r(0) e-in(k-m)w ，N个矢量均衡分布在圆周上，合矢量为0； 当m = k时，r (n) = r(0) e-in(k-k)w = r(0)，矢量序列r (n)均与r(0)重合，合矢量为 N·r(0)； 等模矢量序列rk = {rk(0)， rk (1)， rk (2) ，…，rk (n)，… ，rk(N-1)} 遵从 k = 0，1，…，N-1 复合矢量序列Z = { Z (0)， Z (1)， Z (2) ，…，Z (n)，… ，Z (N-1) }，存在如下表达： Z(n) = r0(n) + r1(n) + r2(n) +… + rk(n) + … + rN-1(n) 有m∈(0，1，…，N-1)，分别将Z (n)对应旋转nmω，即对每个分矢量rk(n) 作对应nmω旋转： 当m≠k时，Z (n)中分矢量 rk(n) = rk(0) e-in(k-m)w ，Z中分矢量序列rk 的N个矢量均衡分布在圆周上，合矢量为0； 当m = k时，Z (n)中分矢量rk(n) = rk(0) e-in(k-k)w = rk(0)，rk(n)与rk(0)重合，Z中分矢量序列rk 的N个矢量均与rk(0)重合，合矢量为 N·rk (0)； 于是有： 令N·rk (0) = X(k)，离散傅里叶变换DFT公式为： 因为 Z(n) = r0(n) + r1(n) + r2(n) +… + rk(n) + … + rN-1(n) 离散傅里叶反变换IDFT公式为：