傅里叶变换卷积性质.doc

信号与系统实验报告 题目：Matlab编程大作业 院（系） 电子与信息学院 专 业 信息工程 班 级 （一） 学生姓名 汪涛 座 号 42 提交日期 2007年 09月 03日 一、实验环境 Matlab（Matrix Laboratory，又称“矩阵实验室”）是在电子与信息类教学和科研中最常用的一种信号处理和仿真软件。它是MathWorks公司于1984年正式推出的一种科学计算软件。 （Matlab 4.2b for Win16） （Matlab 6.5 for Win32） 本次实验在Windows XP环境下进行，同时选用了Matlab 4.2b和6.5两个版本，以便对这款软件十多年的开发、完善过程有一个直观的认识。两个版本发布于1994年和2002年，它们分别是16位和32位Windows系统上最为风靡的Matlab版本。 Matlab 6.x的一个重要新特性是Launch Pad，它为用户打开工具箱提供了方便，其中包括了帮助文件、演示范例、实用工具和Web文档等等。 经过简单的使用后，我发现6.5相对于4.2b在易用性方面的优势包括： （1）Workspace可以让用户方便地看到当前的工作空间，而4.2b只能通过whos等命令查看，占用了Command Window，不方便； （2）6.5内置更多常用的函数，比如y=sinc(x)，在4.2b中只能通过手工定义产生； （3）6.5的帮助文档比4.2b更详尽，而且图文并茂、易于阅读。 而4.2b的优势也是十分明显的，4.2b版本软件体积小而基本功能齐备、占用内存小、运行速度快、界面简洁明了、易于上手。本次实验主要在4.2b环境中完成，同时也参考了6.5的帮助文档。 二、实验原理 在离散时间、连续频率的傅里叶变换中，由于卷积性质知道，对系统输出的计算可以通过求x[n]和h[n]的DTFT，将得到的X(ejw)和H(ejw)相乘就可以得到Y(ejw)，进而再通过反变换得到y[n]。这就避免了在时域进行繁琐的卷积求解。 在数字信号处理（DSP）中，对于有限长序列存在一种离散时间、离散频率的傅里叶变换，称为DFT（Discrete Fourier Transform）。DFT变换的定义为： k=1,2,…,N j=1,2,…,N 其中 可以看出，DFT是对有限长序列频谱的离散化。通过DFT使时域有限长序列与频域有限长序列相对应，从而可在频域用计算机进行信号处理。更重要的是DFT具有两种高效的快速算法FFT（Fast Fourier Transform）。当序列长度为2的整数次幂时，可以采用最快的基2算法，否则采用一般的混合算法。具体的算法可参阅Matlab 6.0或以上版本的Function Reference。 一种更为通俗的解释是，DFT是对频谱采样得到的结果，即DFT所求到的X(k)，它只是一组等分频率点上的X(ejw)，通过DFT并没有得到整个频谱。这也是它被称为DFT的原因（Discrete）。 本实验要求计算0≤ω2π上X(ejw)和Y(ejw)在n=64的等分频率点上的值，这由DFT就可以得到。值得指出的是，当DFT得到的X(k)中k取遍1,2,…,N时，在频谱X(ejw)上正好对应了0≤ω2π。由于n=64并不小，所以还可以考虑由X(k)来近似拟合出X(ejw)，这就是能够近似画出在0≤ω≤2π上画出|X(ejw)|和 |Y(ejw)|对ω的图的理论保证。 通过卷积法同样可以求得系统在某个输入下的输出，这一方法可以用来验证使用DFT算法求输出的正确性。在实验的最后还补充了一个关于两种方法在速度上的简单对比，以此说明DFT的FFT算法的优越性（效率高）。 三、实验步骤（包括分析、代码和波形） 首先来看看这个实验的要求。实验主要涉及LTI系统对信号的加工，需要我们通过卷积、FFT和IFFT来灵活计算系统的单位脉冲响应和输出： 假设一个特定的LTI系统对输入x[n]=(-3/4)n的响应是: y[n]=2/5(1/2)n