创新班_高代数课程讲稿.doc

行列式的计算 1 化为三角形行列式 例1 计算行列式 解 从第 n－1行开始，依次乘－1加到下一行，得 ＝＝ 例3 计算 解 从第列开始，对的第列乘加到第列， 则 对于不能直接化为三角形的行列式，可以考虑先化为上述类型的行列式，再按以上方法计算。 例3计算，其中 解 在第列依次乘都加到最后一列，得到 方法2 定义法 例1 计算的正项个数。 解 另一方面，设共有个正项，个负项。按定义展开后，共有个项，每一项都是1或者，所以 。 例2 由0，证明奇偶排列各半。 解 按定义展开后，形为的项共有个，每一项都等于1，所以 ，而+1代表排列是偶排列，代表排列是奇排列。它们的代数和为零，所以奇偶排列个数相同。 求 解 对于每一个奇排列 就对应一个偶排列 它们对应的的两个行列式之和 + 总共有个行列式按以上规律两两配对，每一对之和为零，所以原式为零。 方法3 拆项法 例1 证明 1） 2） 证明 1） 2）利用1），在左式从第二列起，依次乘加到前一列，得到 最后一列拆成两个行列式，令，利用1）即得2）。 例2 计算行列式 解 原式= 即 同理得到，由此可得 例3 解 先计算 所以 这样，代入上式又有 如此下去，有， 最后 回到原来的行列式： 从第二列开始，各列乘加到第一列得到（设） 当时，，结论也成立。 方法4 加边法 例1 计算行列式 解 把原式提升为阶行列式， 原式＝ 把上式再提升为阶行列式 原式 例2 计算行列式 解 作一个n＋1阶的范得蒙行列式 ＝ 上式中的系数是 。 另一方面，把按第一行展开是一个次数不超过n的多项式，的系数是，因此 ＝ 方法5 递推公式法 例1计算 ＝ 解 按最后一列展开得 ＝－ 于是 因此 同理可得 由此得到 例2 解 ， 所以 ，由此得到 例3 计算＝ 即 记 则， －＝， －＝ －＝ ， 所以 ＝+ 同理得到 ＝+ 故有 例4 ＝ 解 按最后一列展开得 ＝2－ 取复数，，则 ＝（＋）－ 于是 －＝（－） ＝（－ ）＝＝ ＝－ 所以 ＝α 类似可得＝，于是 （α －）＝ () 即2 = 2 ，所以 = 方法6 拉普拉斯展开法 拉普拉斯展开定理 在n阶行列式中，取定k个行，在这k个行上的k级子式设为 ，对应的代数余子式为，则 例1 计算 解 选取的前三行，这三行上的非零3级子式只有一个 是范德蒙行列式，其它3级子式都是零。的代数余子式是 所以 例2 计算2n阶行列式 （其余元全为零） 解 选取的前1行和第2n行，这两个行上的非零2级子式只有一个，的代数余子式是，所以 于是 例3 证明 证明： 4次方程 有两个根相等的充分必要条件是 证明 设所给方程的4个跟为，则由根与系数的关系知 考虑 其首项为，所以 指数组 对应的项 得到 所以有两个根相等的充分必要条件是