利用函数思 解决数列问题.doc

函数思想在数列中的应用 青岛市城阳区第二高级中学 张晓丽 266107 函数思想是数学思想的重要组成部分,也是中学数学中最基本、最重要的数学思想之一。所谓函数思想，就是用运动变化的观点，分析和研究实际问题或数学问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究（一般借助函数的性质、图象等），从而更快更好地解决问题。数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集｛1,2,…,n｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。因此，有些数列的问题可用函数思想来解决。 下面结合几个实例谈谈函数思想在数列中的应用。 函数的定义在数列中的应用 等差、等比数列作为两个特殊的数列，其通项公式、求和公式和一次函数、二次函数、指数函数都有一定的联系。充分挖掘二者的联系，可以加深对等差、等比数列的理解。 给出一下三个结论：①是等差数列的充要条件是是n的一次函数；②是等差数列的充要条件是其前n项和是n的二次函数；③是等比数列，则是关于n的指数函数。其中正确的个数为（ ） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 评析：是等差数列，其通项为，其前n项和。当时，不是n的一次函数，也不是n的二次函数，因此①、②都不对，不难证明，是等差数列（其中是常数）。是等比数列，其通项不是n的指数函数，故选（A）。 在等比数列中，前n项和为，已知，，求． 分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式列出关于和的方程组，解出和，但计算十分繁琐。若考虑到等比数列的前n项和，设，则可以考虑建立目标函数（A为待定系数），从而优化了解题过程。 解：设，则 组解（1）（2）得：, 或． 评述：此类题目如果注意到等比数列前n项和Sn可写成（A为待定系数）的形式，解题方法就显得巧妙一些。同样，等差数列的前n项和Sn可写成（a、b为待定系数）的形式，有时也能给我们解题带来方便。 函数的性质在数列中的应用 函数的性质，如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用。 已知无穷数列的通项公式，试判断此数列是否有最大项？若有，求出第几项最大；若没有，说明理由． 分析：此数列不是等差（等比）数列，但利用研究函数单调性的方法去研究数列的单调性，问题不难解决。 解：，当时，，即；当n＝8时，，即；当时，，即，故． 评述：本题也可以化归为不等式组：且来解决。但对于这类探索性问题，利用函数的单调性更能体现数列的变化趋势，显得更为简捷直观。 数列满足，则＿＿． 分析：类比对应的函数递推式，可求出其周期，从而启发我们寻找本题的解题途径。 解：由，得， 　故． 　评述：一般地，定义在R上的函数，若有或，则2T为函数的周期；若有，则3T为函数的周期；若有 ，则4T为函数的周期。记住这些常见的结论及推导方法，往往能迅速找到解决这类问题的突破口。 函数图象在数列中的应用 　　因为等差、等比数列的通项及求和公式与一次函数、二次函数、指数函数都有联系，所以应用这些函数的图象能直观有效地解决某些数列问题。 等差数列中，，前n项和为，且，，则n＝＿时，最大． 　　分析：等差数列前n项和是关于n的二次函数，常数项为0，因此函数的图象是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点。由题意可知该数列公差小于0。 o图1　　如图1对应的抛物线，所以开口向下，与横轴的一个交点的横坐标为0，另一个交点的横坐标在区间（9，10）内，可见其顶点横坐标在区间（4.5，5）内，故当时,最大。 o 图1 评述：本题的一般解法是利用， ， 得，故当时，最大。 由此可见利用函数图象，解法直观，一目了然。 甲、乙两个工厂2006年元月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增长的产值相同；乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同，已知2007年元月份的产值又相等，则2007年7月份产值（ ）． （A）甲厂高 （B）乙厂高 （C）甲乙相等 （D）甲乙高低无法确定 图2 分析：甲、乙两厂从2006年元月份起，各月产值分别是等差数列和等比数列。由2006年元月份产值相等，知；2007年元月份产值又相等，知。注意到、分别与一次函数、指数函数的关系，其图象如图2。2007年7月份产值分别是和，从图中易见。故选（B）。 图2 y11319ox 评述：由本题不难推广如下：各项均为不相等正数的等差数列和等比数列，若，，则当1km时，；当km时，。 y 1 13 19 o x