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利用微积分导理想气体绝热方程
利用微积分推导理想气体绝热方程
理想气体的绝热方程在帮助我们解决一些复杂的热学过程的时候非常有用，常常可以迅速地得出完美的答案。但是这个方程究竟是怎么来的呢？我这里呈现一种推导，可能比较原始，不过还是可以用的。
不知道有没有向大家介绍过绝热过程中理想气体所满足的一个方程，也就是绝热方程：
上式中P代表压强；V代表体积；γ叫热容比，一会儿再介绍，反正对于同一种气体来说这个值是不变的；C是某一个未知的常数。如果LG在上课的时候没有“这个东西别的班我不讲了，就你们班我提一下”的话，我介绍一下这个叫做γ的热容比。
热学中气体有两个热容，一个是等压摩尔热容，一个是等容摩尔热容，物理学中分别用和来表示。所谓摩尔热容跟我们初中里学的比热容是不一样的，它指的是单位物质的量的气体升高（或降低）单位温度所吸收（或释放）的热量。这个以后会学到。
这是科学家发现的关于两个热容的定义，怎么来的我也不知道，等到高手们回来之后问问看。i是气体的自由度，R就是著名的8.31的普适常数。绝热方程中的γ就完全由这两个比热容定义产生：
接下来我们进入正题，来看一看如何得到这个神奇的绝热方程。
首先因为是绝热过程，所以与外界没有热交换，Q=0.再根据热力学第一定律：
显然有气体内能变化与气体对外做功之和为零。
我们将会学到，其体内能的变化总能用等容摩尔热容来方便地表达；同时，气体做功也可以用压强恒定时压强与体积变化的乘积来表达：
但是我们要研究的绝热过程显然是体积与压强都在变化的，那么我们只好对两个式子都取微分，这样结合上面第一点得到的结论就可以得到第一个微分表达式：
接下去我们要做一件很重要的事情，那就是对理想气体状态方程进行微分，得到第二个微分表达式：
下面我们把两个微分表达式除一除：
我们看看这个等号的右边是什么东西。根据上面对两个热容的定义，稍微凑一下就可以发现：
然后再代回去交叉相乘：
在等号两边同时除以可以得到：
好了，已经可以看出端倪了。在式子的两边积分：
呵呵，我们是不是已经看到我们的绝热方程了呢？
再把对数符号去掉，注意，这个常数会变，记成C最省事：
证毕。
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