利用向量法立体几何题型.doc

例1 在棱长为1的正方体中， 求1、平面的法向量 2、求点到平面的距离。 3、 求直线与平面所成的角。4、求二面角的大小。 例2（05江西 理）如图4，在长方体中，AD==1，AB=2，点E在棱AB上移动。 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面的距离； （Ⅲ）AE等于何值时，二面角的大小为。 例3（05全国卷Ⅱ）如图5，四棱锥中， 底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD， E，F分别CD、PB的中点。 （Ⅰ）求证：EF平面PAB； （Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。 （Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD= PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), . 得，，。 由，得，即， 同理，又， 所以，EF平面PAB。 Ⅱ）解：由，得，即。 得，，。 有，，。 设平面AEF的法向量为， 由，解得。 于是。 设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为。 则。 所以，AC与平面AEF所成角的大小为。 例4如图6 已知四棱锥的底面为直角梯 形，AB//DC，，底面ABCD， 且PA=AD=DC=，M是PB的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。 例1：如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 例5：（04年高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。 （1）证明平面PED⊥平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600， ∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900， 如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=， ∴P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0） ∴=（，，-1），= （，0，-1）， 平面PED的一个法向量为=（0，1，0） ，设平面PAB的法向量为=（x, y, 1) 由 ∴=（, 0, 1) ∵·=0 即⊥ ∴平面PED⊥平面PAB （2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为=（, 0, 1), 设平面FAB的法向量为1=（x, y, -1)， 由（1）知：F（0，0，），=（，，-）， = （，0，-）， 由 ∴1=（-, 0, -1) ∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ= |cos, 1| = 例6、已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB和BC的中点， （1）求D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离 例7、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图） （1）求证：平面A1BC1//平面ACD1； （2）求（1）中两个平行平面间的距离； （3）求点B1到平面A1BC1的距离。 .例8 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1； 解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1； （II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴ DE//AC1，∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1； . 例9（2007武汉3月）如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。 （1）是的中点，取PD的中点，则 ，又 四边形为平行四边形 ∥， ∥ （4分） 例10. （2007河北省唐山市三模）如图，在长方体中，点在线段上. （Ⅰ）求异面直线与所成的角； （Ⅱ）若二面角的大小为，求点到平面的距离