均值不等式的应用 (2).doc

均值不等式的应用 枣阳市高级中学 刘拥华 均值不等式：，当且仅当a=b时，等号成立。 常用变形：； 均值不等式在求最值及参数的取值范围等方面有着广泛的应用，对于给定的函数式或多项式在一定的条件下求最值，一般要通过各种变形或转化，然后运用均值不等式解决。下面结合例题分析。 例1、求函数的最小值。 【思维过程】 思路：因分母的次数低于分子的次数，可用多项式除法将函数式变形后再运用均值不等式求最值。 解： 当即x=0时等号成立， 【误区点拨】 本题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：。 【思维迁移】 分式函数求最值，如果可表示为的形式，且在定义域内恒正或恒负，则可运用均值不等式来求最值。 例2、已知，求的最小值。 【思维过程】 思路一：将变形为 解法一： 思路二：由变形可得然后将变形。 解法二： 可以验证：两种解法的等号成立的条件均为。 【误区点拨】 常见的错解：①， ②，两式相乘得，。究其原因是：①和②等号成立的条件不同，①成立的条件是，②成立的条件是，从而推出，这与已知条件矛盾。 【思维迁移】 本题涉及常数变形，通过这种变形可以转化表达形式，实现可用均值不等式的形式转化。一般地，可以推广到n个的情形，现仅以三个变量为例说明： 设均为正数，且，求的最小值。 ，等号成立的条件是。 例3、求函数的最小值。 【思维过程】 思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间入手，可得一个不等式（当且仅当或时取等号），展开此式讨论即可。 解：即 得 【误区点拨】 按常规思路去解会陷入困境，，平方得 这样求出的不是最小值，而是最大值。 【思维迁移】 本题运用了逆向思维，使问题变得非常简单，因此，当解题思维受阻时，不妨改变思维方向。 例4、已知a,b,c均为，求证：。 【思维过程】 思路：由得或直接由。 证明：均为正数，， 【误区点拨】 在证明过程中，由不能直接用均值不等式，有的用作差比较，结果运算量很大，且又不易化简；有的使用，结果还证明不了，有的在此基础上，设也无法实现解证结果。 【思维迁移】 不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。 总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。 【巩固练习】 1、若求函数最值。 答案： 2、求函数的值域。 答案：[-3，0] 3、已知正数满足求的最小值。答案： 4、已知为正数，且，求的最小值。答案： 5、若，求的最小值。答案： 6、设为整数，求证：。 提示1：应用 左边 ; 提示2：应用 同理三式相加即可。 1