人教版必修一3章《函数的应用》全章知识小结.doc

数学·必修1(人教A版) 一、零点 1．零点定义：对于函数y＝f(x)，我们把使得方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 特别关注：零点不是点，而是实数． 2．函数零点与方程根之间的等价关系： 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 3．函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 特别关注：正确理解函数零点存在性定理． 若函数y＝f(x)图象在[a，b]上是连续的， A．f(a)·f(b)0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？ 对 B．f(a)·f(b)0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？ 不一定 C．f(a)·f(b)0，则y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点？ 不一定 D．y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)0? 不一定 得出结论：(1)函数零点的存在性定理，只是判断函数在某区间有零点的其中一种方法，不是唯一方法，且不能确定零点的个数有多少．(2)不能由存在性定理的结论反推出条件． 4．判断函数零点个数的求法： 方法一，解对应方程的实根； 方法二，画出函数图象，图象与x轴的交点个数即为函数的零点个数； 方法三，对于超越方程，则可以将超越方程分解为两个基本的初等函数，两个初等函数的交点个数，即为原函数零点的个数． 方法四，若是单调函数，则可以利用函数零点存在性定理，判断出原函数只有一个零点． 二、二分法 1．二分法定义：对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．利用二分法求近似解的解题步骤： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)： ①若f(c)＝0，则c就是函数的零点； ②若f(a)· f(c)0，则令b＝ c[此时零点x0∈(a, c)]； ③若f(c)· f(b)0，则令a＝ c[此时零点x0∈( c, b)]． (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 特别关注：首先要注意判断函数是否可用二分法求零点；其次，用二分法求零点时要根据函数性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少运算量． 三、函数模型及应用 1．几类不同增长的函数模型． (1)一次函数模型：y＝ax＋b； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数模型：y＝ax(a0，且a≠1)； (4)对数函数模型：y＝logax(a0，且a≠1)； (5)幂函数模型：y＝xα； (6)分段函数模型． 特别关注：指数增长模型是爆炸性增长模型，其增长速度非常惊人． 2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较． (1)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和 y＝xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大， y＝ ax (a1)，增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝ xn(n0)的增长速度，而y＝logax (a1)的增长速度越来越慢．因此总存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax. (2)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ ax (0a1)，y＝logax(0a1)和y＝ xn(n0)都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝logax (0a1)的衰减速度比y＝xn(n0)和y＝ax (0a1)的衰减得快．因此总存在一个x0，当x x0时，就有logaxxnax. 3．解决应用问题的基本步骤： (1)实际应用题 → 明确题意，找出题设与结论的数学关系——数量关系和空间位置关系； (2)在分析联想的基础上，转化为数学问题，抽象构建成一个或几个数学模型来解； (3)阅读、分析、联想、转化、抽象； (4)建立数学模型； (5)运用数学知识作为工具； (6)解答数学问题； (7)解决实际问题(作答)． 函数零点的判断 函数零点的判断 1．函数零点存在性定理：若函数y＝f(x)的零点在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． 2．求曲线和x轴的交点的横坐标，就是求函数的零点，即求方程的根． 　已知函数f(x)＝3x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实