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MATLAB对线性系统稳定性的分析 摘 要：本文对线性系统从时域、复域和频域进行了稳定性分析，总结了控制系统的主要判据，分析过程简单，结合实例验证了其真实性、有效性。 关键词：线性系统 稳定性 MATLAB 引言：一个控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰后,虽然它的平衡状态被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作。在已知一个系统的系统函数或状态空间表达式时,就可以对其系统的稳定性进行分析。但当系统的阶次较高时,绘图和计算需要花费大量的时间和精力。MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件,并拥有几十个工具箱,借助MATLAB的系统工具箱,就可以直观、方便地分析系统的稳定性。 1、控制系统稳定性定义 关于稳定性的定义有许多种，较典型的说法有两种：一种是由俄国学者李雅普诺夫首先提出的平衡状态稳定性，另一种指系统的运动稳定性。 对于线线控制系统而言，这两种说法是等价的。根据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可以定义如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零， 则称该系统为渐近稳定，简称为稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称系统为不稳定。 由上述稳定性定义可以推知，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的根都具有负实部， 或者说闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴）。 2、系统稳定性分析方法概述 在经典控制理论中，常用时域分析法、复域分析法或频率分析法来分析控制系统的性能。 不同的方法有不同的适用范围，下面对上述方法进行具体研究。 2.1时域分析法 在经典控制理论中，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行稳定性分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。 在时域分析系统的稳定性，必须研究在输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统的输出响应趋于最终期值h（∞）。显然，一个稳定的系统，其时域响应曲线必须是衰减的。 2.2复域分析法 在复域中进行系统稳定性分析，尤其当系统参数K的变化时，选定合适的参数范围使系统达到所需要稳定要求。有两种方法：一是直接法，即对于较易得到系统闭环传递函数的场合，直接求出系统所有闭环极点，判断是否都具有负实部来确定系统的稳定性；二是根轨迹法，利用系统开闭环传递绘制根轨迹，由线性系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴），确定使根轨迹在左半S开平面部分时参数范围为系统稳定的区域。 2.2.1直接法 假设闭环传递函数为=，则其特征方程写成一般形式： (1) 若n≤2，可直接求取其特征方程根（即闭环极点）来判断系统稳定性，即使（1）有待定参数，也容易求出特征方程根的一般形式，但对于求取n3的高阶系统特征方程式的根很麻烦，所以对高阶系统一般都采用间接法来判断稳定性，在时域中常采用间接方法是代数判据（也称劳斯判据）。 2.2.2根轨迹法 根轨迹法是一种图解方法，这种方法是根据系统开环零、极点的分布来研究系统中可变参数变化时，系统闭环特征根的变化规律，从而研究系统的稳定性。 因此，根轨迹法在控制系统的分析和设计中是一种很实用的工程方法。它的最大特点是能够很清晰地了解到闭环特征根的分布，一目了然地得出系统稳定时参数的取值范围，并且不必求出系统的闭环传递函数，适用于较复杂系统。根轨迹法的关键环节就是能够正确地绘制出系统的根轨迹，简单根轨迹可用试探法绘制，复杂根轨迹则应利用其绘制基本规则进行绘制。 2.2.3频域分析法 频域分析法是应用频率特性研究系统的一种经典方法，以系统的频率特性为数学模型， 用bode图或其他图表作为分析工具。 当系统的开环传递函数表达式不易求出，就无法应用代数判据或根轨迹法判断闭环系统的稳定性，此时应用频率稳定判据就非常方便。其前提条件就是要正确地把系统的频率特性绘制成曲线，常用的频率特性曲线大致有三种：幅相曲线（极坐标图）；bode图，也称为对数频率特性曲线；对数幅相曲线（尼科尔斯图）。曲线的绘制可根据系统的开环频率特性的表达式通过取值描点法、叠加法绘制根轨迹草图，或利用MATLAB等计算机辅助工具来实现。 3、MATLAB实现系统稳定性分析 3.1时域分析法判断系统的稳定性 系统模型为WK(S)=，单位负反馈。利用MATLAB工具箱提供的时域响应函数， 给该系统施加单位冲激，观察它的响应，分析稳定性。 程序如下： 程序中num为开环传递函数分子系数矩阵，den为分母系数矩阵。系统的稳定性是指系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，当扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态