1小波分析是数学.doc

摘要：小波变换克服了传统傅里叶变换的缺点，具有良好的时，频局部化功能，从而使得小波理论在在图像处理领域得到广泛应用。小波变换为图像纹理分析提供了一种基于多尺度，及频谱，结构和统计方法于一体的综合性方法。为了是人们对于这一方法有一个较全面的了解对基于小波变换理论的图像分析的研究与进展进行了较系统的阐述，并通过实验说明小波变换在图像压缩处理当中发挥的重要作用。 关键词：小波变换，图像压缩，malab Abstract: Wavelet transforms gets rid of some defect of Fourier transform.wavelet analysis has been paid more and more attention and widely used in various fields of engineering application. Especially in the image procession.Wavelet transforms supply a synthetical analytical meam based on muli-scale and intergated into frenquency structural and statistical methods for image texture analysi。This papers makes an introductory review on the image texture analytical techniques including the last achievement in the field. Keyword:wavelet transformation.image compression.matlab 一小波变换简介： 1．1小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。 小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。小波分析是一变分辨率的分析方法，他对高频信号小视窗，低频信号采用大视窗进行分析。 1.2小波变换原理：小波变换的基本思想类似于Fourier 变换就是用信号在一簇基函数张成的空间上的投影表征该信号。小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性能有一个灵活可变的时间频率窗这在理论和实际应用中都有重要意义。 首先我们给出基小波的定义： 定义Ψ( t)若是一个实值函数并且它的频谱Ψ(w )满足 其中^Ψ(w )表示Ψ( t)的Fourier变换 称Ψ( t)是一个基小波称上式为“容许性 ”条件. 。对于基小波有 Ψ( t)通过平移和伸缩而产生一个函数簇 {Ψa, b( t) }。 其中a∈R, b∈R, a≠0 小波变换与经典的傅立叶变换不一样傅立叶变换基是固定的而函数只要满足容许性条件就可以成为小波基。因此在个学科用领域中若要采用小波变换就有一个变换基的选择问题。在具体应用中需要根据具体应用要求和被处理的原函数f ( t)的特来选择小波变换基Ψ( t) ,使得小波变换更好地反映f ( t)的特征。下面给出几个小波基的例子。 目前对于小波变换图像压缩的研究主要集中在两个方面一是小波基的选择一是小波系数的编码。因为小波变换本身并不能压缩图像只是提供了减少比特率的一种可能 必须结合其它编码技术对小波系数编码才能实现压缩目的。所以基于小波 变换的图像压缩方法通常分为如下3个步骤小波变换、量化和编码。此类方法首先对图像进行多级小波分解然后对每层的小波系数进行量化如零树编码进行量化矢量量化等再对量化后的系数进行编码如算术编码、哈夫曼编码等无失真编码。对于基 于小波变换的图像压缩编码方法对小波变换后系数的量化和编码是实现数 压缩的关键。 2. 离散小波变换 2.1 离散小波变换的定义 在图像处理中应用的小波变换是二维小波变换，定义为 （2.1） 式中，分别表示在x,y轴的平移； 逆变换为 （2.2） 式中，为系数，为 （2.3） 而是一个二维基本小波。 2．2用小波变换进行图像分解 使用小波变换完成图像分解的方法很多，例如，均匀分解、非均匀分解、八带分解、小波包分解等。其中八带分解是使用最广的一种分解方法，这种分解方法把低频部分分解成比较窄的频带，而对每一级分解得到的高频部分不再进一步进行分解。 (a) 一次二维DWT (b) 两次二维DWT 图2.1为八带分解示意图(a) 一次二维DWT，(b) 两次二维DWT 2．