7-1描述函法.ppt

自动控制原理课件;第七章 非线性系统 内容提要 7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 相平面法 学习指导与小结 ;7.1 典型非线性特性;7.1 典型非线性特性;2．死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出为零。;4 继电器特性 ;实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。; 由于上述非线性特性的存在，与线性系统相比，非线性系统具有如下特点： （1）稳定性的复杂性。 （2）可能存在自激振荡现象 。 （3）频率响应。;相应的时间响应随初始条件而变。 当x0 1，t lnx0/(x0 ?1) 时，随t增大，x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 ?1) 时，x(t)为无穷大。 当x01时，x(t) 递减并趋于0。; 所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定运动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 ; 非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂，会产生一些比较奇特的现象。例如跳跃谐振和多值响应、波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 考虑有名的杜芬方程 ;7.1.3 非线性系统的分析方法;7.2 描述函数;2.描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asin?t 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级数;由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即 ;类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。;7.2.2 描述函数的求法;y;所以基波分量为; 2.饱和特性 ; 式中ψ1=arctan(a/A)。 可得饱和特性的描述函数为; 以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。 ;x(t);; 解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为;1 2;等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度?1=1及?2=2的死区特性的并联相减。 ; 前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分析. ;x(t); 对比在线性系统分析中应用奈氏判据，当满足G( j?) = ?1时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然，?1/N(A)相当于线性系统中的(?1, j0)点。区别在于，线性系统的临界状态是(?1, j0)。而非线性系统的临界状态是?1/N(A)曲线。; (1) 若G(s)曲线不包围?1/N(A)曲线，则非线性系统是稳定的。 (2) 若G(s)曲线包围?1/N(A)曲线，则非线性系统是不稳定的。 (3) 若G(s)曲线与?1/N(A)曲线相交，则在理论上将产生等 幅振荡或称为自振荡。;G( j?);2.自振荡的分析与计算 下面从信号的角度分析自振荡产生的条件。在图示非线性系统中，若产生自荡，则意味着系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为 x(t)=Asin?t 则非线性环节输出信号基波分量为 y1(t)=?N(A)?A sin[?t + ?N(A)] 而线性部分的输出信号为 c(t) =?G( j?)N(A)?Asin[?t + ?G( j?)+?N(A)] 根据系统中存在自振荡的假设，r(t)=0，故 x(t) = ? c(t) 即 Asin?t = ??G( j?)N(A)?Asin[?t +?G( j?)+?N(A)];所以 ?G( j?)N(A)? = 1 ?G( j?) + ?N(A) = ?? ;值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件时可知，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率是非线性环节的输入信号x(t)=Asin?t的振幅和频率，而不是系统的输出信号c(t)。 例7-3 具有理想继电器特性非线性系统如图所示，试确定其自振荡的幅值和频率。;解：理想继电器特性的描述函数为;;-1