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缺课课程感言二 第五章 非平稳信号处理方法 一、主要内容 经典的傅里叶分析能够完美地描绘平稳的正弦信号及其组合，但不能恰当地反映非平稳信号的特征。 许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲击响应信号 、机组启、停机信号等。 必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。 本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析等非平稳信号分析方法的原理、特点及其在工程中的应用。 5.1 短时傅里叶变换 傅里叶变换用平稳的正弦波作为基函数 ，通过内积运算去变换信号 ，得到其频谱。 这一变换建立了一个从时域到频域的谱分析通道。 频谱X(f) 显示了用正弦基函数分解出x(t) 中任一正弦频率f 的总强度。 傅里叶谱分析提供了平均的频谱系数，只与频率f 有关，而与时间t无关。 傅里叶分析还要求所分析的随机过程是平稳的. 1946年Gabor提出了窗口傅里叶变换，称为短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform, STFT）。 由加窗信的傅里叶变换产生短时傅里叶变换。 窗函数h(t)的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。 时间分辨率和频率分辨率一旦确定，则STFT在整个时频平面上的时频分辨率保持不变。 短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，其基础是傅里叶变换，更适合分析准平稳(quasi-stationary)信号。 反映信号高频成份需要用窄时窗，而反映信号低频成份需要用宽时窗。短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。 5.2 小波变换 近年来在工具和方法上有重大突破的小波变换，为非平稳信号分析展示了美好的前景。 “小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特性。 小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。 1910年A. Haar提出的规范正交系 1984年，J. Morlet在分析地震数据的局部性时引进了小波概念。 1986年，Y. Meyer构造出二进伸缩、平移小波基函数，掀起小波研究热潮。 1987年，S. G. Mallat将多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。 1988年，I. Daubechies构造了紧支集正交小波基，完善小波理论体系。 1989到1991年，R. R. Coifman、M. V. Wickerhauser等提出小波包及算法。 5.2.1 多分辨分析及其工程意义 1997年，W. Sweldens提出第二代小波变换的概念和算法。 近一个世纪，特别是近二十年来，小波理论和算法发展突飞猛进。为信号处理领域里各自独立开发的方法建立了一个统一的框架 小波变换的局部化是变化的，在高频处时间分辨率高，频率分辨率低；在低频处时间分辨率低，频率分辨率高，即具有“变焦”的性质，也就是具有自适应窗的性质。 当机器发生故障时，信号所包含机器不同零部件的故障特征频率分布在不同的频带里。 如何提取这些被淹没的微弱信息而实现故障的早期诊断问题，往往使传统的信号分析技术无能为力。 小波变换能够实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离。这种分离相当于同时使用一个低通滤波器和若干个带通滤波器而不丢失任何原始信息。 为机器零部件故障特征频率的分离、微弱信息的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。 特别要强调，这些优点来自小波变换的多分辨分析和小波基函数的正交性。 性质： 1) 一致单调性2) 渐近完全性3) 伸缩规则性4) 平移不变性5) 正交补全性 5.2.2 正交小波基的构造与信息独立化的提取 在机械动态分析与监测诊断过程中，希望尽可能减少小波基的冗余性，期望小波函数线性独立，即希望小波函数是一个Riesz基。 由于正交性能够保证独立性，正交基是完备的内积空间(Hilbert空间)最理想的基函数，所以我们最感兴趣于寻找小波函数是正交基。 Mallat塔形算法,不涉及尺度函数和小波函数直接运用h(n) 和g(n) 参与运算 每次分解所得到的逼近信号和细节信号的数据长度是上一次逼近信号数据长度的一半。当 次分解后，逼近信号和细节信号的数据长度缩减为原始信号数据长度的一定倍数 。 在重构计算的每一步中，先在数据之间插补零后再参与同低通、带通滤波器系数的运算，结果重构数据长度加倍。 Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相当于快速傅里叶算法在傅里叶变换中的地位。 正交小波变换将原始信号分解到各自独立的频带中，正交性保证了这些状态信息无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了监测诊断信息。 5.3 小波包信号分解与频带能量监测 小波变换对信号的分解都是对低频逼近信号进行再分解，不再对高频细节信号进行分解。 小波变换分解方式，高频频带信号的时间分辨率高而频率分辨