系统分析与设中的数学方法.ppt

系统分析与设计中的数学方法;频 谱 分 析 法;从复数角度 给出欧拉公式 其复数形式 ; 付氏级数所表示的f(t)无论是实数形式还是复数形式，都是无数个谐波函数的叠加。其复数形式的系数表示谐波的幅值与相位。 其系数的集合称为频谱。用ω或f作横坐标，平行纵坐标的线段│ck│表示相应的系数的模(线谱)。它具有离散性，相邻两线谱之间的距离Δω=Ω=2π/T。 ;例：设函数f(t)为一方波序列，周期为T=2τ0 f(t)=A0 , -τ0/2t τ0/2 f(t)=0 , τ0/2t T-τ0/2 将f(t)代入 得 其基波分量的频率为 Ω=2π/T=π/ τ0 得到各次谐波ck值(T=2τ0) ;几点说明 因为 所以当K=1时，为基波频率项； 若T=4τ0,基波频率Ω=2π/T下降1/2，各线谱间距离缩短一半，其包络线形状一样，只是其高度与T成反比，幅值由A0/2→A0/4； 可以看出: f(t)的各次谐波随频率的变化情况； 因为基波频率Ω=2π/T，当T增大，线谱将互相靠近； 当T →∞时，则成为连续谱，付氏级数→付氏积分。 f(t)通过线性环节后的描述 令r(t)=f(t),为以上方波序列，则 可用下式来描述 ;二、付氏积分与变换 付氏级数→周期函数，不适用于非周期函数； 对于非周期函数，认为T →∞，由付氏级数引申到付氏积分。 已知周期函数f(t)的付氏级数 将系数代入，即 有 ; 若 有界，当T →∞时，有 当T →∞时， → 0，可看成 dω， ωk → ω， ; 称 ;其物理意义，对式 取f=ω/2π=1/T作为频率坐标 设F(j2πf)在fk处为单位面积窄脉冲 即F(j2πf)在fk处为单位面积窄脉冲，对应幅值为1的复数正弦 ;因此，若将付氏变换 分解为一系列窄脉冲，面积分别 是 ，那么，合成的时间函数就是这些复数正弦之和。 由此可见：付氏积分就是在频域上将信号进行分解，其实质 就是将函数f(t)看作由无穷多个谐波叠加而成的。 与付氏级数的比较：连续与离散、非周期与周期 注意：在某个频率点上，谐波的幅值为 ，是无 穷小量，所以一般用相对幅值 表示其频谱。 ;F(jω)可由f(t)曲线求得 设f(t)在±T/2以外为0，则 且已知一周期函数的付氏级数系数为 可得 即:可用根据f(t)构成一个周期函数，并对此进行频谱分析，求得各次谐波的 值，然后计算 ，再将其用光滑曲线连接。 ;三、典型信号的频谱分析 理想脉冲信号 为方便求解，构建等价函数 应满足 ;以 为例，计算频谱 ;利用欧拉公式 对任意ω，其F(jω)都为1，是一种很有用的输入 函数，可测试系统带宽下的特性。;余弦函数 是周期函数，可用付氏级数展开，其线谱由f±f1处的两线段 构成。见右下图 余弦函数不满足绝对可积条件， 借助于δ(t)函数，有 ;由于 若横坐标改用ω，则频谱为 反推 ;常值函数 常值的频谱仅在零频率上有一δ函数，其面积为 也就是说，只含直流分量。 ;阶跃函数 f(t)=1(t) 借助δ函数，有;将λ=1/ε代入 得 如右图可知， 随角频率的增加而很快衰减。;下面进行反推 由于阶跃信号的频谱的高频部分衰减很快，所以用该函数来测 试对象的动态特性，只能得到一个低频的数学模型。;实际脉??信号 δ函数频谱是常数，它包含了所有频率信息，而且均匀分布 由于能量不能无穷大，实际使用的脉冲总有一定的宽度，令其脉冲面积为1，对它们进行分析 设要分析的实际脉冲的冲量（面积）为1。讨论以下两种情况 由于 比较三角形和矩形脉冲（底部宽为T,面积都为1）的低频段特性。;A矩形 B三角形 实际脉冲信号的频谱在高频段都是衰减的，只是在一定范围内可以近似为常值； T越小，频谱越宽，所包含的谐波数愈丰富，用来测量对象也就愈有利； T相同时，三角波较之矩形波更接近理想脉冲； 要求精度为测定对象在0~6rad/s频段上的特性时，就要选宽度低于0.5s的脉冲信号作为激励信号。;四、离散付氏变换 作用：实际计算，计算机完成 付氏变换从谱的角度来分析系统；采用离散付氏变换，需