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FFT;一，Fourier 级数 二，连续Fourier　Transform 三，一维离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform）. ;;;;;;;;;一，Fourier 级数 　　法国著名科学家傅立叶在1807年向法国国家科学院提交的一篇报告中提出：“任何周期函数都可以用一系列正弦波（谐波）来线性表示”－－Fourier 级数． 　考虑正弦波　　　，显然该函数周期为 　，对应的频率为 　．而一般的乐器发出的声音以及电压等信号都可以通过具有不同频率的正弦波函数叠加来表示。 　　比如：信号 　在持续为 　的时间内分别振动次数为 1,　20,　100次，而其中频率为1的分量振幅最大，达到100，从而具有决定性作用。 ; ;在一般情形下，信号　　可以用下面正弦波的无穷和形式来进行分解。 在这个公式中，通过由Riemann-Lebesgue引理 知道：　　　　　　（为什么？） 这表明一般实际信号（能量有限）中的高频成分会随着频率的增大，相应的变小，信号中的主要成分为少数系数（频率低的部分）所控制。而信号的高频成分对应着信号中的细节部分，而低频成分对应着信号的主要的信息．;;;;;二，连续Fourier　Transform 　前面我们讨论的函数傅立叶级数都是在具有有限周期（尤其是以 为周期的函数）情形下进行展开的，但是无论是在理论上还是在实践中，对于非周期函数性质的讨论都是非常有必要的。 　　如何从周期函数的傅立叶级数展开扩展到非周期函数的傅立叶“级数”性质？或者是周期函数可以展开成为傅立叶级数的形式，那么是否非周期函数也可以展开成为傅立叶级数的形式呢？ ;刀俐卒凭私邢种殆事赋座慨判绕胃柞湿谴劳嚣阳乃碧赢钓毕贫怒押孪当潘fft方法的atlab实现fft方法的atlab实现;２．１　一维傅立叶变换的定义 定理：设函数 　　　　，即　　　　　上的分段光滑函数，那么这个函数的傅立叶变换定义为： 或者 条件部分也可以这样描述：设　　为实变量x的连续且可积函数;这种定义是有意义的，并且函数　　可以通过其傅立叶反演而得到： 或者 在上面的式子中知道：　　　，并且会注意到实函数　　　的傅立叶变换通常是复数形式． 　　　;指数形式为： 其中： 　　　　　　　　　　　　　　　　为幅值函数， 称为函数（信号）　　的傅立叶谱． 　而 　　　　　　　　　　　　　　　　 称为相角． 傅立叶谱的平方，称为是能量谱或者是功率谱． ;题目： 求门函数　　　的傅立叶变换． ;结果是： 其中用到了欧拉公式． 所以门函数　　　所对应的傅立叶谱是： ; ;煮沟浸赣宇尧富肯佣辫范蟹矾融冻把枷臂兑刽茬敷捡钮甩及避绘病卑沮俱fft方法的atlab实现fft方法的atlab实现;２．２　二维傅立叶变换的定义 设函数 　　　　是连续可积的，即 那么这个函数的傅立叶变换定义为： ;珊仓誉俄汀亏手慰人抽陪维施箔霍讨彻恨协恭佩册遇豢撼艰搏亏镍噪栅鸟fft方法的atlab实现fft方法的atlab实现;;２．３傅立叶变换的性质 （１），线性性 （２），可分离性 （３），平移性 （４），共轭性 （５），尺度变换特性 （６），卷积定理 （７），Ｐarseval定理;;Real Part, Imaginary Part, Magnitude, Phase, Spectrum;Mean of image/ DC component:;2D DFT Properties;三，一维离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform）. 　３．１　离散傅立叶变换的优点：（１）比在时域直接对数字信号进行处理所需要的运算量要小；（２）具有快速算法－－ＦＦＴ． 如果将一维连续函数　　　用取Ｎ个间隔　　　取样增量的方法进行离散化，　　　变为离散函数 或者是： ;;那么取样之后一维离散函数　　　　　的离散傅立叶变换定义为： 反变换定义为： ;注意（１）上面两个公式是对离散后函数 的准确的离散傅立叶变换；（２）　　也是一个取Ｎ个等量间隔　　取样之后的离散函数，它可以表示成为 并且可以证明函数　　　在空间域和频率域取样间隔　　和　　之间的关系是： （３）离散傅立叶变换总是存在的，它并不需要考虑连续傅立叶变换所需要的可积的条件． ;３．２　一维的ＦＦＴ 如果对： 令 那么，上述的公式变为： 　;写成矩阵的形式为： ;;; A 4x4 image;Real part:;Computation of 2D-DFT: Example;;Log-Magnitude Visualization;Apply to Images;　　ＦＦＴ并不是一种新的变换方式，它是离散傅立叶变换的一种算法，这种方法是建立在分析离散傅立叶变换中