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第二次数学作业
证明：
证明：记,根据向量范数的定义有：
= , =
设中的最大值为，其值为a（1kn），即=a. 则有：
==a
所以.根据有：
=n
所以.因此得证。
证明：
（1）；
（2）.并说明与相容。
证明：（1）先证.
记,==.
==
=n==
所以： （※）
1）根据矩阵范数的定义：
=
因此存在，使=.根据（※）式：
==
即.
2）同理，存在，使=.根据（※）式：
==
所以得证。
（2）设非负的对称阵的特征值从大到小排列为,,，则其均为非负实数。
=
则tr()==
1）根据矩阵的迹等于所有特征值之和有：
tr()=tr()=n= n
=n= n
因此.
2）
===
因此。得证。
3）与相容，因此：
则与相容。
设A对称正定，记= ，.证明为上一种范数，若非正定则如何？
解：（一）证明：
1）由于A对称正定，则=0， .
当且仅当时，=0.即=0
则范数的正定性可证。
2）===
则范数的齐次性可证。
3）由A为对称阵有：
==
构???以下二次型内积：
，成立
因此：
即： （※）
根据（※）式有：
=
=
即≤。
范数的三角不等式可证。
根据（1）、（2）、（3）证明为上一种范数。
（二）若A非正定，根据= 的定义有：
≥0，
当时，==0，而反过来不一定成立，即不是=0成立的充要条件。因此不满足正定性，不能证明为上一种范数。
但是A虽非正定，仍满足齐次性与三角不等式。
不等式1和是否一定成立？证明你的结论。
证明：根据定理1.6，设为上任一种矩阵范数，对于有：
（※）
1）对于单位矩阵I，其特征值为1，即=1，根据式（※）：
因此不等式1恒成立。
2）当为非奇异矩阵时，其逆矩阵存在。此时：
由于（1）中已证明1恒成立，且根据矩阵范数的相容性有：
即。当≠0时：
=
因此当非奇异，且不为0时，一定成立。
设，，定义为：
，
计算，和,并证明1.
解：
1）
==
由于各项之间为等比数列，公比为q，q=。按照等比数列求和公式：
==
2）=
则：
=
==
3）
=
由第2题中结论有：
=
所以1。
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