线性代数习题(2010-2011-1)修订.doc

第一章 行列式 温习巩固 指明每下列行列式计算中每一步所依据的行列式的性质. 练习提高 求证: . 用行列式性质证明 用行列式性质证明. 今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马”。马主曰：“我马食半牛”。 今欲衰偿之，问各出几何？ 如图1.1 对于锐角三角形由勾股定理可以得下列方程组，试据此求. 用行列式性质证明 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？ 用克拉默法则求解方程组 思考与深化 证明对于任何实数及三阶行列式总有 在计算不定积分时，需将被积函数作如下分解： 其中为待定常数，试求之． 考虑三元线性方程组其系数行列式. 说明下列各等号成立的理由，并由此证明克拉默法则． 小张同学说，二阶行列式都为零，理由如下： 哪里出了问题？ ① 如图1.2, 图1.3以为邻边的平行四边形的面积为. ② 若二阶行列式按上面的意义理解，那么二阶行列式的下列性质的几何意义是什么？ 若从数表到实数的一种对应满足上面的性质， 此对应是否一定是二阶行列式？ 若二阶行列式的四个元素为的排列，这样的行列式共有24个。 问这24个二阶行列式的和是多少？ 第二章 矩阵 一、温习巩固 设，，， 求（1）；（2）；（3）；（4）若有，求。 设，，， 求（1）；（2）；（3）。 已知，，设，，， 求（1）用矩阵表示与，与的关系；（2）用矩阵乘法求与的关系。 4．已知 （1）计算及。 （2）对于任意矩阵是否有成立，成立的条件是什么？ （3）对于任意矩阵展开，？ 5．设 求（1）；（2）。 求下列矩阵的伴随矩阵，并计算及。 (1) ； (2) 。 7．求下列矩阵的逆矩阵： (1) (其中)；(2) ；(3) 。 8．设，由初等矩阵与初等变换的关系计算 （1）； （2）； （3）； （4）。 9．若可逆矩阵作如下变化，则相应的有怎样的变化？ （1）中行与行互换；（2）中行乘上非零数；（3）时中行乘上数加到第行。 10．把下列矩阵化为简化行阶梯形及标准形。 （1） ；（2） 。 11．利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵。 （1） ；（2） 。 12．求下列矩阵的秩，并找到该矩阵一个最高阶非零子式。 （1） ；（2） 。 二、练习提高 1．举反例说明下列命题是错误的： （1）若，则；（2）若，且，则； （3）若，，则；（4）若，且，则。 2．判断以下关于逆矩阵的结论是否正确：设为阶方阵， （1）可逆（ ）； （2）可逆可以表示成一系列初等矩阵的乘积（ ）； （3）可逆只施行行变换可以化为单位矩阵（ ）； （4）可逆只施行列变换可以化为单位矩阵（ ）； （5）可逆是满秩矩阵（ ）； （6）可逆，且，则（ ）； （7）可逆，且，则（ ）。 3．已知为阶方阵，且，求 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。 4．利用初等变换求逆矩阵时，我们常利用公式：，试解释此公式，并类似推 导以下公式：。 5．设，，均为阶可逆矩阵，证明：为可逆矩阵，且写出。 三、思考与深化 1．用逆矩阵求下列关于的矩阵方程。 设，，求使。 2．试用克拉默法则及分块矩阵讨论：设，若存在非零矩阵使得，则的值为？ 3．证明题 （1）若n阶矩阵满足，试证：可逆，并求其逆； （2）若矩阵A满足，且，则矩阵A必不可逆。 4．设，其中，，求。（提示：存在，使） 第三章 线性方程组 温习巩固 ⒈ 求解齐次线性方程组 ⒉ 求解非齐次线性方程组 ⒊ 设。求向量，使。 ⒋ 求向量组的秩和一个极大线性无关组。 二、练习提高 ⒈ 判断题 ⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。 ( ) ⑵ 设为矩阵，是非齐次线性方程组的导出组，则 （a）若仅有零解，则有唯一解。 ( ) （b）若有非零解，则有无穷多解。 ( ) （c有无穷多解，则有非零解。 ( ) ⑶ 设为阶矩阵，是维列向量，若，则线性方程组 必有非零解。 ( ) ⑷ 对矩阵施行若干次初等变换，当变为时，相应的变为。( ) ⑸ 设向量组线性无关，可由线性表示，而向量不能由 线性表示，则对于任意常数，必有，线性相关。( ) ⑹ 设维列向量组线性相关，是矩阵，则线性 相关。