线性代数习题四作业参考解答.doc

习题四作业参考解答 １．求下列齐次线性方程组的一个基础解系： (1) 解：系数矩阵（行最简形） 所以同解方程组为：，令，带入同解方程组求出，得一个解向量；再令，带入同解方程组求出，得一个解向量， 故齐次线性方程组的基础解系为。 (2) 仿（1） (3) ． 解：同解方程组为：， 令，得解向量， 令，得解向量， 令，得解向量， 令，得解向量， 所以，齐次线性方程组的基础解系为： ２．求下列非齐次线性方程组的一般解： （2） 解：增广矩阵，，所以有无穷多组解。 导出组的同解方程组为：，令，得导出组的解向量，此即导出组的基础解系； 非齐次线性方程组的同解方程组是：，令，得非齐次线性方程组本身的一个特解 ， 故非齐次线性方程组的一般解是 ４．求，使线性方程组 (1) 无解；(2) 有解，有解时求其解． 解：增广矩阵 （1）当时，因为，故非齐次线性方程组无解 （2）当时，因为未知数个数，故非齐次线性方程组有解，且有无穷多组解： 非齐次线性方程组的同解方程组是 令，即非齐次线性方程组本身的一个特解为 。 导出组的同解方程组是， 令，得到导出组的一个解为， 令，得到导出组的一个解为， 则构成导出组的基础解系，导出组的一般解为，非齐次线性方程组的一般解是： ５．求，使齐次线性方程组 有非零解，并求解． 解：当系数行列式时，即或时有非零解。 具体求解分三种情况：1）且，2）且，3）且。（求解过程略） ６．证明线性方程组 有解的充分必要条件为：．在有解的情形，求它的一般解。 解：增广矩阵 故当且仅当时，未知数个数，线性方程组有解且有无穷多组解，（具体求解过程略） ７．证明线性方程组 对任何都有解的充要条件是：系数行列式 证明：线性方程组的向量形式是：，故线性方程组有解等价于向量可由向量组 线性表示。其中。 1）必要性：设线性方程组对任何都有解，即任意维向量都可由向量组线性表示，由此可知，维基本单位向量组中的每一个向量均可由向量组线性表示，另一方面，向量组中的每一个向量都可由维基本单位向量组线性表示，故它们是等价的向量组，等价的向量组有相同的秩，由维基本单位向量组线性无关，秩为，推知向量组秩为，即向量组线性无关，从而有： 2）充分性：设系数行列式，维向量组线性无关，则对于任意维向量， 个维向量构成的向量组必定相关，由此可知向量可由向量组 线性表示，亦即线性方程组有解。 ８．判断下列命题是否正确． (1) 如果矩阵方程只有零解，则矩阵方程有唯一解；（正确） (2) 如果向量组是的基础解系，则向量组,,,也是的基础解系；（错误，因为向量组,,,是线性相关的） (3) 如果矩阵方程有唯一解，则矩阵方程只有零解．（正确） ９．设向量组是某个线性方程组的解，求证： 也是这个方程组的一个解．其中． 证明：设线性方程组为，则依题意有： 于是有： 即：是线性方程组的解。 ---------------------------------------------------------------------------------------- １０．设是线性方程组的一组解，向量组是它的导出方程组的一个基础解系，令 ， 证明：线性方程组的任一组解，都可以表成 ， 其中． 证明：显然，线性方程组的任一组解都可以表示为： 将带入得： 令，即有：，注意到，就有： 63