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建筑力学1-梁的应力一
第九章 梁的应力;9.1 梁弯曲时横截面上的正应力;图9.1 ; 取一矩形截面等直梁,先在其表面画两条与轴线垂直的横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ,以及两条与轴线平行的纵线ab和cd(图9.2(a))。然后在梁的两端各施加一个力偶矩为M的外力偶,使梁发生纯弯曲变形(图9.2(b))。可以观察到如下现象:
(1) 梁变形后,横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ仍为直线,并与变形后梁的轴线垂直,但倾斜了一个角度。
(2) 纵向线变成了曲线,靠近顶面的ab缩短了,靠近底面的cd伸长了。;图9.2 ; 根据上述的表面变形现象,由表及里地推断梁内部的变形,作出如下的两点假设:
(1) 平面假设
假设梁的横截面变形后仍保持为平面,只是绕横截面内某轴转了一个角度,偏转后仍垂直于变形后的梁的轴线。
(2) 单向受力假设
将梁看成是由无数纵向纤维组成,假设所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩,互相之间无挤压。;(1) 变形的几何关系
将梁变形后截面Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ之间的一段截取出来进行研究(图9.3)。若把OO′纵线看成材料的一层纤维,则这层纤维既不伸长也不缩短,称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴,如图9.4所示。
纵线cd的线应变为 ;图9.3;图9.4 ;(2) 物理关系
由于假设纵向纤维之间无挤压,只受到单向轴向拉伸或压缩,所以在正应力不超过比例极限时,由拉压虎克定律可得
σ=Eε=Ey/ρ
对于确定的截面,E与ρ均为常数。式(b)说明,横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比,即应力沿截面高度方向成线性规律分布,如图9.5所示。;图9.5 ;(3) 静力关系
在横截面上取一微面积dA,其微内力为σdA,梁发生纯弯曲时,横截面上内力简化的结果只有弯矩M,如图9.6所示。 ;图9.6 ; 计算正应力时,M和y均可代入绝对值,正应力σ的正负号直接由梁的变形来判断。以中性层为界,梁变形后凸出边的正应力为拉应力,取正值;凹入边的正应力为压应力,取负值(图9.7)。
;图9.7 ;【例9.1】一悬臂梁的截面为矩形,自由端受集中力P作用(图9.8(a))。已知P=4kN,h=60mm,b=40mm,l=250mm。求固定端截面上a点的正应力及固定端截面上的最大正应力。
【解】(1) 计算固定端???面上的弯矩M
M=Pl=4×250kN·mm=1000kN·mm
(2) 计算固定端截面上a点的正应力
Iz=bh3/12=40×603/12mm4=72×104mm4
σa=M/Izya=13.9MPa;图9.8 ;(3) 计算固定端截面上的最大正应力
固定端截面的最大正应力发生在该截面的上、下边缘处。由梁的变形情况可以看出,上边缘产生最大拉应力,下边缘产生最大压应力,其应力分布如图9.8(b)所示。最大正应力值为
σmax=M/Iz·ymax=41.7MPa;【例9.2】简支梁受均布荷载q作用,如图9.9(a)所示。已知q=3.5kN/m,梁的跨度l=1m,该梁由10号槽钢平置制成。试计算梁的最大拉应力σlmax和最大压应力σymax以及它们发生的位置。
【解】(1) 求支座反力
由对称性有
RA=RB=ql/2=5.25kN
(2) 作出弯矩图,如图9.9(b)所示。最大弯矩发生在跨中截面,其值为
Mmax=ql2/8=0.44kN·m;(3) 由型钢表查得10号槽钢截面
Iz=25.6cm4=25.6×104mm4
y1=1.52cm=15.2mm
y2=3.28cm=32.8mm
(4) 计算正应力
最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处
σlmax=Mmax/Iz·yz=56.05MPa
最大压应力发生在跨中截面的上边缘处
σymax=Mmax/Iz·y1=25.98MPa;图9.9 ;9.2 梁的正应力强度计算;(2) 对于中性轴不是截面对称轴的梁
例如图9.10所示的T形截面梁,在正弯矩M作用下,梁下边缘处产生最大拉应力,上边缘处产生最大压应力,其值分别为
σlmax=M/Iz·y1
σymax=M/Iz·y2
令 Wl=Iz/y1,Wy=Iz/y2
则 σlmax=M/Wl,σymax=M/Wy;图9.10 ;(1) 当材料的抗拉和抗压能力相同时,即
[σl]=[σy]=[σ],
则梁的正应力强度条件为
σmax=Mmax/Wz≤[σ]
① 强度校核
在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸,以及所受荷载的情况下,可以检查梁是否满足正应力强度条件。
② 截面设计
当已知荷载和梁的材料时,可根据强度条件,计算所需的抗弯截面系数
Wz≥Mmax/[σ]
再根据梁的截面形状进一步确
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