建筑力学1-梁的应力一.pptVIP

第九章 梁的应力;9.1 梁弯曲时横截面上的正应力;图9.1 ;　　取一矩形截面等直梁，先在其表面画两条与轴线垂直的横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ，以及两条与轴线平行的纵线ab和cd(图9.2(a))。然后在梁的两端各施加一个力偶矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲变形(图9.2(b))。可以观察到如下现象： 　　（1） 梁变形后，横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ仍为直线，并与变形后梁的轴线垂直，但倾斜了一个角度。 　　（2） 纵向线变成了曲线，靠近顶面的ab缩短了，靠近底面的cd伸长了。;图9.2 ;　　根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的两点假设： (1) 平面假设 　　假设梁的横截面变形后仍保持为平面，只是绕横截面内某轴转了一个角度，偏转后仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 　　将梁看成是由无数纵向纤维组成，假设所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，互相之间无挤压。;(1) 变形的几何关系 　　将梁变形后截面Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ之间的一段截取出来进行研究(图9.3)。若把OO′纵线看成材料的一层纤维，则这层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图9.4所示。 　　纵线cd的线应变为 ;图9.3;图9.4 ;(2) 物理关系 　　由于假设纵向纤维之间无挤压，只受到单向轴向拉伸或压缩，所以在正应力不超过比例极限时，由拉压虎克定律可得 　　　　σ=Eε=Ey/ρ 　　对于确定的截面，E与ρ均为常数。式(b)说明，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，即应力沿截面高度方向成线性规律分布，如图9.5所示。;图9.5 ;(3) 静力关系 　　在横截面上取一微面积dA，其微内力为σdA，梁发生纯弯曲时，横截面上内力简化的结果只有弯矩M，如图9.6所示。 ;图9.6 ;　　计算正应力时，M和y均可代入绝对值，正应力σ的正负号直接由梁的变形来判断。以中性层为界，梁变形后凸出边的正应力为拉应力，取正值；凹入边的正应力为压应力，取负值(图9.7)。 ;图9.7 ;【例9.1】一悬臂梁的截面为矩形，自由端受集中力P作用(图9.8(a))。已知P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上a点的正应力及固定端截面上的最大正应力。 【解】(1) 计算固定端???面上的弯矩M 　　M=Pl=4×250kN·mm=1000kN·mm (2) 计算固定端截面上a点的正应力 　　Iz=bh3/12=40×603/12mm4=72×104mm4 　　σa=M/Izya=13.9MPa;图9.8 ;(3) 计算固定端截面上的最大正应力 　　固定端截面的最大正应力发生在该截面的上、下边缘处。由梁的变形情况可以看出，上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压应力，其应力分布如图9.8(b)所示。最大正应力值为 　　σmax=M/Iz·ymax=41.7MPa;【例9.2】简支梁受均布荷载q作用，如图9.9(a)所示。已知q=3.5kN/m，梁的跨度l=1m，该梁由10号槽钢平置制成。试计算梁的最大拉应力σlmax和最大压应力σymax以及它们发生的位置。 【解】(1) 求支座反力 　　由对称性有 　　　　RA=RB=ql/2=5.25kN 　　 (2) 作出弯矩图，如图9.9(b)所示。最大弯矩发生在跨中截面，其值为 　　　　Mmax=ql2/8=0.44kN·m;(3) 由型钢表查得10号槽钢截面 　　　　Iz=25.6cm4=25.6×104mm4 　　　　y1=1.52cm=15.2mm 　　　　y2=3.28cm=32.8mm (4) 计算正应力 　　最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处 　　　　σlmax=Mmax/Iz·yz=56.05MPa 　　最大压应力发生在跨中截面的上边缘处 　　　　σymax=Mmax/Iz·y1=25.98MPa;图9.9 ;9.2 梁的正应力强度计算;(2) 对于中性轴不是截面对称轴的梁 　　例如图9.10所示的T形截面梁，在正弯矩M作用下，梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为 　　　　σlmax=M/Iz·y1 　　　　σymax=M/Iz·y2 　　令　Wl=Iz/y1，Wy=Iz/y2 　　则　σlmax=M/Wl，σymax=M/Wy;图9.10 ;(1) 当材料的抗拉和抗压能力相同时，即 ［σl］=［σy］=［σ］， 则梁的正应力强度条件为 　　　　σmax=Mmax/Wz≤［σ］ ① 强度校核 　　在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸，以及所受荷载的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。 ② 截面设计 　　当已知荷载和梁的材料时，可根据强度条件，计算所需的抗弯截面系数 　　　　Wz≥Mmax/［σ］ 再根据梁的截面形状进一步确