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大 纲 内 容 一、复数与复变函数（10学时） 复变函数是建立在复数域上的理论。本部分内容是对中学学习的复数内容进行复习与补充，关于平面点集的概念与数学分析相应的内容类似。本部分内容主要是为本课程引入必要的预备基础知识。 1、主要内容 复数及代数运算，共轭复数、复数的几何表示、模、辐角，复数域、复平面；扩充复平面、复球面、无穷远点；复平面上点集的基本概念（邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、开集、闭集、有界集），区域、闭域；复平面上的曲线及有关概念，Jordan定理；复变函数的概念；复变函数的极限，连续性，有界闭集上连续函数的性质。 2、目的和要求 （1）理解复数及复数的模、辐角等相关概念；熟练掌握复数的几何表示、三角表示、指数表示方法；熟练掌握各种形式下复数的运算； （2）了解扩充复平面、复球面，掌握无穷远点的定义及性质； （3）了解复平面上点集的基本概念；掌握区域、闭域等相关概念； （4）了解复平面上曲线的相关概念（连续曲线、简单曲线、逐段光滑曲线及曲线的长度）；了解Jordan定理（定理的证明不做要求）；掌握复平面上曲线的参数方程表示方法； （5）理解复变函数的定义及相关概念； （6）掌握复变函数的极限及连续性，了解有界闭集上连续函数的性质。 二、解析函数（8学时） 解析函数是复变函数论研究的主要对象。本部分内容主要介绍解析函数的概念、基本性质及解析的条件，重点是解析函数的C-R条件，难点是多值函数。 1、主要内容 复变函数的导数、微分及其基本性质；解析性的概念，C-R条件，解析的第一个充要条件；初等解析函数（幂函数、指数函数、三角函数）；支点、支割线，初等多值函数（根式函数、对数函数、反三角函数、一般幂函数、一般指数函数）简介。 2、目的和要求 （1）理解复变函数导数与微分的概念，熟练掌握导数与微分的运算法则及基本性质； （2）理解解析函数的概念，熟练掌握C-R条件、解析的充要条件，并能用于判定函数的解析性及计算导数； （3）理解并掌握初等解析函数的定义及其基本性质，尤其要熟悉与实变量中相应函数不同的性质； （4）了解多值函数及其支点、支割线的概念；了解初等多值函数及其简单性质。 三、复积分（8学时） 复变函数积分是研究解析函数的重要工具。解析函数的许多重要性质都要用积分来证明，Cauchy积分定理和Cauchy积分公式是复变函数论的基本定理和基本公式。本部分内容的重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式，难点是Cauchy积分定理的证明。 1、主要内容 复变函数积分的定义，与曲线积分的关系，连续函数的可积性；复积分的性质；复积分的计算（参数方程表示的曲线）；Cauchy积分定理及其推广，积分与路径的无关性，原函数与不定积分；Cauchy积分公式，平均值公式；解析函数的无穷次可微性及解析的第二个充要条件；Cauchy不等式与Liouville定理；Morera定理与解析的第三个充要条件。 2、目的和要求 （1）正确理解复变函数积分的定义，掌握复积分与曲线积分的关系，熟悉连续函数的可积性； （2）掌握复积分的性质；熟练掌握参数方程下复积分的计算； （3）熟练掌握Cauchy积分定理及其推广（此处各定理的证明不做要求）并能应用于积分的计算； （4）掌握积分与路径的无关性并能用于复积分的计算； （5）熟练掌握Cauchy积分公式及相关定理和结论，掌握Morera定理及解析函数的充要条件；能应用这些定理证明相关问题。 四、解析函数的幂级数表示（10学时） 级数是解析函数的基本理论之一，是研究解析函数的重要工具。本部分内容讲述解析函数的幂级数表示法，并由此得出解析函数的一些重要性质，重点是幂级数表示的解析函数的特性、唯一性定理和最大模原理。对于与数学分析中相平行的结论可只作简单介绍。 1、主要内容 复数项级数及基本性质；复函数项级数的一致收敛性及和函数的连续性、解析性（Weierstrass定理）；幂级数的收敛特性，收敛半径与收敛圆，和函数的解析性；Taylor定理，解析的第四个充要条件；一些初等函数的幂级数展开式（），将解析函数展开为幂级数（间接法）；解析函数零点的级，零点的孤立性，唯一性定理、最大模原理。 2、目的和要求 （1）了解复数项级数及其基本性质，掌握复函数项级数的一致收敛性，和函数的连续性、解析性； （2）会求幂级数的收敛半径和收敛圆，熟练掌握幂级数的收敛特性，和函数的解析性； （3）掌握Taylor定理，解析的第四个充要条件； （4）熟练掌握一些初等函数的Taylor展开式，能够求一些解析函数的Taylor展开式； （5）掌握解析函数在零点的表示及零点的孤立性，熟练掌握唯一性定理和最大模原理，并能够用于证明一些相关问题。 五、解析函数的Laurent展开式（8学时） 孤立奇点是解析函数奇点中