第四章矩阵的特征值和特征向量new.ppt

一. 特征值、特征向量的定义和计算 二. 特征值、特征向量的性质 ???0,s.t. A? = ??. 先解|?E–A|=0, 求?; 将?代入 (?E–A)?=0, 求非零通解. ? ?i = trA = ? aii n i =1 n i =1 ? ?i = detA = |A| n i =1 设?是A的特征值,则f(?)是f(A)的特征值. 注:A的零化多项式的根可能是但未必都是A的特征值. A 的任一特征值?都是零化多项式的根. A可逆?A的特征值均不为0, 1/?是A?1的特征值. ?是可逆阵A的特征值, 则|A|/?是A*的特征值. 若?是方阵A的特征值, 则?也是AT 的特征值. 例8.设3阶矩阵A的特征值为2,1,?1,则 解： ? A可逆 ?是可逆阵A的特征值, 则 1/? 是A?1的特征值. (? + 1/? ) 是 (A+A?1) 的特征值. (A+A?1) 的特征值为： 例9.设3阶矩阵A的特征值为1,2,3, 则 的特征值为 即?11,?5,?3 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 特征值和特征向量 设A是n阶方阵, 对于数?, 存在n维非零向量?, 使得A? = ?? , 则称?为A的一个特征值。 由A? =?? 得齐次线性方程组(?E–A)? =?, 它有非零解 ? |?E–A|=0 ? ?E–A不可逆 若A为方阵, ?是A的一个特征值 ? (?E?A)不可逆. A为方阵, ?不是A的特征值 ? (?E?A)可逆. 例10.设3阶矩阵A的特征值为?2,1,4,则可逆的矩阵: (A) E?A (B) 4E?A (C) 2E?A (D) 2E+A 例11.若方阵A不可逆，则A的一个特征值为( ) 0 例12.若方阵A满足A2=2A,0不是A的特征值,则A= A可逆 A = 2E 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 特征值和特征向量 §4.2 方阵的特征值和特征向量 (1学时) §4.1 相似矩阵 (1学时) 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.3 方阵可相似对角化的条件 (1学时) §4.4 实对称矩阵的相似对角化 (1学时) 一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 一. 方阵可相似对角化的条件 二. 方阵可相似对角化的步骤 定理4.1. n阶方阵A与对角矩阵相似 ? ?n个线性 无关的向量?1, ?2, …, ?n和n个数?1, ?2, …, ?n满足 A?i = ?i?i , i=1,2,…,n. 若令P = (?1, ?2, …,?n), ? = diag(?1, ?2,…,?n), 则 P–1AP = ? . 第四章 矩阵的特征值和特征向量 方阵A的相似对角化问题: 求可逆矩P, 使P –1AP=?. 其中，对角阵?称为相似标准形. §4.3 方阵可相似对角化的条件 §4.3 方阵可相似对角化的条件 定理4.3. n阶方阵A相似于对角矩阵 ? A有n个线性无关的特征向量. 注1： 若A有l (n)个线性无关的特征向量， 则A不与对角矩阵相似. (但是若有P –1AP = B, 则A = PBP–1 =E=B. 矛盾!) 证明: ?1=?2 =1 ? n ? r = 1 ? 2 ? A不与对角阵B相似. §4.3 方阵可相似对角化的条件 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.3 方阵可相似对角化的条件 定理4.3. n阶方阵A相似于对角矩阵 ? A有n个线性无关的特征向量. 1 0 0 1 , A不与B相似. 例7. A = 1 0 1 1 , B = ?E?A = 0 0 ?1 0 定理4.4. 设?1, ?2为方阵A的两个不同的特征值, ?1, ?,?s,与?1,?,?r分别为属于?1, ?2的线性无关的特 征向量, 证明?1,?,?s, ?1,?,?r 线性无关. 证明: 设k1?1+?+ks?s+l1?1+ ?+lr ?r = 0 (1) 左乘A得 ?2?(1)?(2), 得 (?2 ??1)k1 ?1+?+ (?2 ??1)ks ?s = 0 ?2 ??1, ? ? k1?1?1+?+ks?1?s+l1?2 ?1+?+lr?2?r = 0 (2) ?k1 ?1+?+ ks ?s = 0 ?1,?,?s,线性无关 ?k1 =?= ks = 0 ? l1?1+ ?+lr ?r = 0 ? ?1,?,?r 线性无关 ?l1 =?= lr = 0 所以?1,?,?s, ?1,?,?r 线性无关. 对应于