《线性代数》电子教程之三.ppt

主要内容 一、矩阵的定义与记号 2. 有关概念 二、矩阵举例 三、几个特殊矩阵 四、小结 一、矩阵的加减法 二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘） 三、矩阵与矩阵的乘法（矩阵的乘法） 方阵的多项式 四、矩阵的转置 3. 矩阵的转置_运算规则 五、方阵的行列式 3. 伴随矩阵 六、共轭矩阵 七、小结 证明 伴随矩阵性质的证明 例题 例5 求矩阵 与 的乘积 解 析： 是 矩阵， 是 矩阵， 的列数等 于 的行数，所以矩阵 与 可以相乘. 例6 求矩阵 与 的乘积 及 解 说明 此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而 且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即 1） 若 不能推出 2） 若 不能推出 ３．矩阵的乘法_运算规则 或简写成 纯量矩阵与方阵的乘积 说明 第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是 可交换的． ４．方阵的幂 定义 设　是　阶方阵，定义 说明 此定义表明， 就是 个 连乘，并且显然， 只有方阵，它的幂才有意义. 运算规则 特别注意 一般来说， 与 不相等. 设 称为方阵 的 次多项式. 为数 的 次多项式，记 同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的： 设 是 的两个多项式，则 由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样 分解因式. 如 说明 当 与 可交换时，有类似与数的乘法公式. 与 为同阶方阵： 5. 行矩阵与列矩阵的乘积 设 则 例7 下图示明了d国三个城市，e国三个城市，f国两个 城市相互间之道路. 交通网络模型 在d国和e国间城市通路情况可用下列形式表示： 在e国和f国间城市通路情况可用下列形式表示： 其中：0, 1 指城市间的通路数 求：d 国和 f 国城市通路形式？ 1. 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到一个新矩阵， 叫做 的转置矩阵，记作 .即 若 则 其中 例如 则的转置矩阵为 设矩阵 2. 对称矩阵 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那么 称为对称矩阵，简称对称阵. 例如 对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴， 对应相等. 例8 已知 求 解法1 解法2 此例验证了矩阵的转置运算规则4 例9 设列矩阵 满足 ， 证 析：要证明一个方阵是不是对称阵，就是验证它 是否满足对称阵的条件 所以 是对称阵. 为 阶单位矩阵， 证明 是对称 阵，且 注意 和 的区别 1. 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式（各元素的位 置不变），称为方阵 的行列式，记作 或 特别注意 方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数 表，而行列式则是一个数. 方阵与它的行列式又是紧密相关的，行列式是方 阵确定的一个数，所以行列式可看作方阵的函数； 同时，行列式是方阵特性的重要标志. 2. 由 确定 _运算规则 证明 注意 但 但 称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵. 矩阵 的行列式 的各元素的代数余子式 所构成的如下的矩阵 说明 此性质表明 与 可交换，且其乘积为单位阵 的 倍； 当 时， 由此可进一步讨论 与 的性质（后面介绍）. 伴随矩阵的基本性质 证明 例10 设 求 的伴随矩阵 解 所以，所求的伴随阵为 验证 当 为复矩阵时， 用 表示 的共轭 复数，记 称为 的共轭矩阵. 定义 由 确定 _运算规则 矩阵的线性运算是矩阵的加法及矩阵的数乘； 矩阵的乘法是比较难理解的一种运算，它与数的 乘法比较如下： 不成立 消去律 不成立 交换律 幺元素 分配律 结合律 矩阵 实数 作业： P53 3. 4. P54 7. 8. 9. 设 记 阶行列式 一方面，根据公式有 另一方面， * * 《线 性 代 数》 电子教案之三 第三讲 矩阵及其运算 矩阵的概念； 零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特 殊矩阵； 矩阵的线性运算（