求函数极限的若干方法(数学考研).doc

函数极限的定义性质及作用 在“极限”的中，我们可以知道，这个概念绕过了用个数除以的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能这个概念是成功的。数列极限标准定义：对数列，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时成立，那么称是数列的极限。函数极限标准定义：设函数大于某一正数时有定义，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是函数在无穷大处的极限。设函数在处的某一去心邻域内有定义，若存在常数，对于任意，总存在正数，使得当时，成立，那么称是函数在处的极限。存在，则必定唯一 性质 2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界 性质 3（保序性） 设 性质4（迫敛性）设，且在某内有，则. 数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。 二、函数极限的计算及多种求法 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为. 例1: 按定义证明. 解: 令,则让即可, 存在,当时,不等式: 成立, 所以 2.利用极限四则运算法则 应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n或x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。 例2: 求,其中. 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限 , 原式 3.利用夹逼性定理求极限 当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。 例3:求的极限。 解: 对任意正整数n,显然有 , 而,,由夹逼性定理得 4.利用两个重要极限求极限 两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 例4：求极限 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。 解： 5.利迫敛性来求极限 设,且在某内有,则 例5：求的极限 解：. 且由迫敛性知 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。 6.用洛必达法则求极限 洛必达法则为：假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：和的极限都是或都是无穷大；和都可导，且的导数不为；存在（或是无穷大），则极限也一定存在，且等于，即= 。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。 注：运用洛比达法则应注意以下几点 1、要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导。 2、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。 7.利用定积分求极限 设函数 在区间上连续，将区间分成个子区间在每个子区任取一点，作和式（见右