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浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用 摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。 关键字: 行列Vandermonde行列式；Vandermonde 目 录 第一章 引言 ………………………………………………1 预备知识……………………………………………2 2.1 定义 ………………………………………………2 2.2 行列式的性质……………………………………2 2.3 行列式计算中的几种基本方法……………………三角形法……………………………………………加边法或升级法……………………………………递推法或数学归纳法………………………………行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……Vandermonde行列式的证法 ………………………Vandermonde行列式的性质 ………………………推广的性质定理：行列式 ………………………一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…Vandermonde行列式的偏导数……………………Vandermonde行列式的翻转与变形 ………………Vandermonde行列式的应用 …………………………………………………………………………17 第五章 参考文献 ……………………………………………18 第六章 谢 辞 ………………………………………………19 引言 在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用。。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的必威体育精装版研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中。 本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。预备知识 为学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必要回顾一下行列式的相关知识。 行列式是由个元素（数）(=1,2,…,)排成行列并写成 的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和： 　　① 每项是个元素的乘积，这个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为,式中是1,2,…,的一个排列。 　 ②每项应带正号或负号，以1,2,…,的顺序为标准来比较排列()的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项排列(231)有2个逆序，即2在1之前3在1之前,所以应带正号；而中(213)的逆序为1，因为这时只有21之前，所以应带负号。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 交换行列式的两行（列），行列式改变符号。 性质3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。 性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数,等于以数乘这个行列式。 性质5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 性质6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。 性质7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素比例，那么这个行列式等于0。 性质8 设行列式的第行元素都可以表示成, 那么等于两个行列式与的和，其中的第行元素是，的第行元素是，而与的其他各行都和的一样。同样的性质对于列来说也成立。 性质9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。 行列式计算中的几种基本方法