矩阵初等变换及其应用.doc

学号：2008310849 哈尔滨师范大学 学士学位论文 题 目 矩阵初等变换及其应用 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院 2012年4月25日 哈 尔 滨 师 范 大 学 学士学位论文开题报告 论文题目 矩阵初等变换及其应用 学生姓名 焦 阳 指导教师 林立军 副教授 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 2011年11月25日 课题来源： 矩阵初等变换及其应用 课题研究的目的和意义： 由于矩阵的初等变换贯穿着代数学习的始终，那么掌握好矩阵的初等变换对我们学习好高等代数有很大帮助。本文对初等变换的应用做了总结，使读者能够系统地了解初等变换在不同地方的应用。方便读者日后学习中使用初等变换解题。很多复杂、繁琐的问题经过初等变换都可以化为简单、易于解决的问题。所以对于矩阵的初等变换的研究具有非常重要的意义。 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 本文主要探究矩阵的初等变换在高等代数、线性代数中的应用。总结了矩阵的初等变换的一些基本概念和重要结论，然后根据这些概念和结论，把矩阵的初等变换的方法应用到解决各类问题当中。）； （2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k乘以第i行（列），记作； （3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i行（列）k倍加到第j行（列），记作。 初等行、列变换统称为初等变换。 定义2：对单位矩阵I仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为，，，有 == == == 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。 定理1：对mn矩阵A，作一次初等行（列）变换所得的矩阵B，等于以一个相应的m阶（n阶）初等矩阵左（右）乘A。 下面将介绍几种实用初等变换的方法。由于侧重实际应用方面，在表述方面着重讲清基本概念、原理和计算方法，避免繁琐、冗长的理论推导和证明，力求简明准确；将抽象的理论，从具体问题入手，通过典型例题对基本概念、所涉及的方法进行融会贯通。 1、求矩阵的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩，如果我们要求一个矩阵的秩，可以先利用行初等变换将其化为行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数，行阶梯形矩阵的秩就是原矩阵的秩。这样我们就可以求出原矩阵的秩。 定义1：在mn矩阵A中，任取k行k列（km，kn），位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在A中所处的位置次序二而得到的k阶行列式，称为A的k阶子式。 定义2：矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作r（A），并规定零矩阵的秩等于零。 定理1：初等变换不改变矩阵的秩。 推论1：若A是一个的矩阵，经过初等变换可以得到一个行阶梯形矩阵B，显然B与A等价，有r（A）=r（B）。 例1 求矩阵A的秩，A=。 解： A=。 所以由推论得：A的秩为3。 例2 求矩阵A=的秩r（A）。 解： A==B 所以r（B）=2，r（A）=r（B）=2。 矩阵的秩是矩阵的一个重要数字特征，矩阵的许多重要性质都可以通过它来反映，如矩阵非零子式的最高阶数，矩阵行（列）向量组的线性相关性等。 2、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵 可逆矩阵在线性代数中具有很重要的地位，但若是用伴随矩阵的方式来求一个矩阵的逆矩阵工作量非常大。然而根据可逆矩阵与初等矩阵之间的关系，矩阵求逆的问题可以通过初等变换很轻松的解决。 利用初等变换判定矩阵为可逆阵的方法有： 满秩法：n阶矩阵A为可逆阵的充要条件是r（A）=n。 初等变换法：n阶矩阵A为可逆阵的充要条件是可通过对A作有限次行（或列）初等变换后化为单位阵。 定理1：矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。 例1 判定矩阵A=是否可逆。 解： 1）满秩法： A=， 所以r（A）=3，即矩阵A为满秩，故矩阵A可逆。 初等变换法： A= ， 所以矩阵A可逆。 一种求逆的方法：将分块矩阵进行行初等变换，当前面一块变成单位矩阵时，后 面一块就是。 例2 设A=，求。 解：因为A= 有 所以=。 另一种求逆方法：将分块矩阵进行列初等变换，当上面一块变成单位矩阵时，下面 一块就是。 例3 已知矩阵A= 可逆，用列初等变换法求。 解： = ， 从而得到：A-1=。 在用初等变换法求逆的过程中，或从始至终只作行的初等变换，或从始至终只作列初等变换。绝不能同时作行与列的初等变换。 3、判断线性方程组解的状况 齐次线性方程组有