周期序列的傅立叶级数2012.ppt

引 言 由序列的 z变换引出的傅立叶变换，得到的信号频谱X(ejω)，是ω的连续函数，不便于数字处理。 回顾一下傅立叶变换的几种可能形式 当“时间”或“频率”分别取连续值或离散值时，不同形式的傅立叶变换对。 引 言 1、连续时间、连续频率-傅立叶变换 连续时间非周期信号x(t)的傅立叶变换关系，得到的是连续的非周期的频谱函数。变换关系对如下： 引 言 2、离散时间、连续频率-序列傅立叶变换 对抽样序列而言，反映的是时域的离散化造成频域的周期延拓，变换关系对如下： 引 言 3、连续时间、离散频率-傅立叶级数 周期为T的周期连续函数可以展开成傅立叶级数，傅立叶级数的系数X(jkΩ0)，可得变换关系对： 引 言 4、离散时间、离散频率-离散傅立叶变换 有限长序列或周期序列的傅立叶变换，相当于对序列的连续傅立叶变换的频率抽样结果，正是本章要介绍的内容，其变换对如下： 引 言 有限长序列的离散傅立叶变换（DFT） Discrete FT: 解决了频域（频率）的离散化问题， 又有快速计算算法（Fast FT），便于 计算机和硬件实现。 结论： 与Z变换的关系 周期卷积的时域计算方法 1、与线性卷积的步骤相同： 变量置换：n-m 将其中一个序列反褶，m - -m，在N/2处反褶 反褶的序列移位，循环移位 序列对应点相乘、累加。在一个周期内进行 2、运算在m=0—N-1内进行，计算出一个周期的结果，然后周期延拓得到整个序列。 因此： Xe(k)是共轭对称序列，而Xo(k)是共轭反对称序列，即： 复序列实部的DFT等于序列DFT的共轭对称部分。 复序列虚部乘j的DFT等于序列DFT的共轭反对称部分。 同样可以证明x(n)的共轭对称和共轭反对称分量分别对应DFT 的实部和虚部乘j。 上述例子说明： 利用共轭对称性，可以用一次DFT运算来计算两个实数序列的DFT，因而可以减少计算量。 另外：对实序列而言，利用共轭对称性： 3.2.4 有限长序列的线性卷积与循环卷积 在实际问题中，例如线性移不变系统，用的都是线性卷积； 线性卷积不能直接用 DFT，因而不能使用后面的 FFT 计算。 探讨在什么条件下，可以用循环卷积运算来代替线性卷积运算。 令分子为0，得： 幅频特性： 相频特性： 相位是线性相移加上一个π的整数倍的相移，后一个 相移是由于每隔2π/N的整数倍相位就翻转（由负变正或由正变负），因此每隔2π/N的整数倍相位就要加π，即相位发生了变化。 频域能量的定义：各次谐波离散功率谱的总和 角 采样频率 设有两个有限长序列： 1、线性卷积的结果 2、循环卷积的结果 1）、构造点数为L的新序列，即在x1(n)后补L-N1 个0，在x2(n)后补L-N2个0，即： 计算L点循环卷积： 2、循环卷积的结果 2）、将x2(n)作L点周期延拓，即： 计算L点循环卷积： L 点循环卷积y(n)是线性卷积yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。 2、循环卷积的结果 由于： 因此： 原序列 线性卷积 5点循环卷积 10点循环卷积 对时域信号采样在一定条件下可以恢复连续信号 等间隔N点采样 N个频率采样可以不失真地代表N点有限长序列，那么也能够表达X(z)及频率响应X(ejω) 为插值函数，其特性分析如下： 令分母为0，得： 内插函数只在本身抽样点r=k处不为零，在其他r不等于k的N-1个抽样点上都是零。零极点分布如下图3-3-2所示。 则： 宽度为N的矩形序列（0--N-1），取第一个周期 则： 因此，有限长序列可用周期序列的一个周期来表示 其含义如下： 与周期序列的DFS意义相同。看下面的例子： 有限长序列的圆周移位指的是对序列的N点周期延拓序列移位，而后取主值区序列的结果。 有限长序列的圆周移位，在离散频域中只引入一个和频率k成正比的线性相移，对频谱的幅度没有影响。 周期序列移位后，再取主值区，其实质是：序列左移m位，而移出主值区的序列值又依次从右侧进入主值区。 利用周期性 对频域的有限长序列可以看成是分布在一个N等分的圆周上，因此频域移位实际上也是圆周（循环）移位问题 时域序列的调制等效于频域的圆周（循环）移位 = 请看下面的证明： 利用周期性 证明： 请看下面应用这一性质的例子： 证明： 利用周期性 说明：周期序列的反褶只影响频谱的相位，不影响其幅度。 两个定义： 四. DFT的共轭对称性 同时： 作k=N-k替换，再取共轭 将序列展成实部和虚部： 共轭对称性的含义如下： 基于N/2点的共轭对称性 作k=N-k替换，再取共