6.1-6.2定积分的概念和性质.ppt

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6.1-6.2定积分的概念和性质

证 (小于零的情形类似. ) 由极限的保号性立即可知. 代数和 例1 证 / / 有什么结论? 换成 例2 证 请同学们自己在下面做. / 与性质 3 的推论 1 不同, 这里的结论是严格不等号! 证 例3 证 所以 例4 证 证 M m £ £ m 几何解释:被积函数在积分区间上的平均化 例5 解 由积分中值定理 等价无穷小替换 例6 解 * * 小区间的长度与分法有关。 因为高数 给你一套过去的习题,做做那时我们的练习 有时会突然忘了,拉格朗日定理   再考不出那样的成绩,听到都会红着脸躲避   虽然一直都在努力,可有人却已放弃   因为成绩不会轻易增长,所以一切都是奋斗的模样 因为难度不断地增长,所以我们都在为它疯狂   因为高数,怎么会没沧桑, 尽管我们还是年轻的模样   因为挂科,在那个地方, 每到期末都会有人在那个地方   ~~生或阵亡~~ * 数学界的一群智者 个人简介 2009年,中国科学院数学研究所,博士 2010年,国家数学天元青年基金 2011年,数学与信息科学学院,副教授 2012年,国家青年科学基金 2012年,杰出青年扶持计划 2013年,上海市博士后基金A类资助 2013年,中国博士后科学基金面上资助 2013年,数学与信息科学学院副院长 几点要求 按时上课,迟到者需走前门说明理由 勿在教室吃早饭,下课时带走自产垃圾 课堂上,手机要静音 事假请打招呼,不得无故旷课 作业按时上交 高等数学是什么 研究对象: 初等函数的解析性质 常量→变量,有限→无穷 研究内容: 一元函数微分学、积分学; 多元函数积分学、微分学; 微分方程; 无穷级数理论; 空间解析几何与向量代数; 研究方法: 无穷小分析——极限方法 第六章 定积分 第一小节 定积分的概念和性质 二. 定积分的定义 一. 曲边梯形的面积 三. 定积分的性质 在我国古代南北朝(公元 429 — 500 年)时, 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数,算出正多边形的面积,逼近相应的圆的面积,得到了π 的近似值. 在初等几何中,计算任意多边形面积时,常采用如下方法:首先将任意多边形划分为若干个小三角形,分别计算各个三角形的面积,然后求和,得到任意多边形的面积。 一. 曲边梯形的面积 阿基米德运用这种方法,求得抛物线 与 x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值. 就是说,在计算复杂图形的面积时,可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块,并分别求出各小块图形的面积,然后求和,即得到原图形的面积的近似值(边界线为直线时,可得精确值). 如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?可求由一般曲线所围图形的面积!! 曲边梯形:三边为直线,其中有两边相互 平行且与第三边垂直(底边),第四边是一条 曲线,它与垂直于底边的直线至多有一个交点 (这里不排除某直线缩成一点). 1. 曲边梯形 2. 求曲边梯形的面积 首先,我们重复阿基米德的做法: 分割—近似—求和 得到曲边梯形面积的近似值,然后,引入极限过程, 求出曲边梯形面积的精确值. 第一步:分割 任意引入分点 称为区间的一个分法 T 第二步:近似 对每个小曲边梯形均作上述的近似 第三步:求和 第四步:取极限 二. 定积分的定义 任意引入分点 定积分符号: 关于定积分定义的几点说明 定积分的几何意义 由极限保号性: 面积: 定积分的几何意义 喂!请问什么样的函数可积? 定理 1(函数可积性) 定理 2 定理 3 定理 4 定理 5 三. 定积分的性质 由于定积分是一种和式的极限, 所以极限 的某些性质在定积分中将有所反映. 在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可 积, 所出现的定积分均存在. 证 证 由定积分定义及极限运算性质: 可以推广至有限个可积函数的情形. * * 小区间的长度与分法有关。

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