计算方法--矩阵特征值的数值计算方法.ppt

* heut-yjs@163.com heuuyjs@163.com 河北联合大学 1 2 3 4 5 理论基础 幂 法 规范幂法 反 幂 法 QR分解法 4 参考文献 6 概念回顾 方阵的特征值与特征向量 特性回顾 特征值与特征向量的性质 A：n阶方阵， 若数 和 n 维非 零列向量 X 使关系式 成立，则 称为方阵A的特征值， X 称为A的对应于特征值 的特征向量。 矩阵的特征值与特征向量 如 取 则特征向量 是特征值, 是特征向量. 矩阵的特征值与特征向量 称为方阵A的特征多项式 显然，A的特征值就是特征方程的根, 也称特征根。 （重根按重数计算）， n阶方阵A有n个特征值。 注意 特征方程、特征根 矩阵的特征值与特征向量 求矩阵 的特征值和特征向量。 矩阵 的特征多项式为 令 特征值为 当 时，求解齐次线性方程组 方程组 从而解得基础解系 的全部特征向量为 其中k为任意非零常数。 当 时，求解齐次线性方程组 得对应的方程组为 从而解得基础解系 全部特征向量为 其中数 是不同时为零的任意常数。 如果矩阵 满足 则称 是幂等矩阵。 （幂等矩阵的特征值只能是0或1） 设n阶方阵A的n个特征值为 则必有 （1） （2） 其中 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵 的迹，记作 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。 特征值与特征向量的性质 设n阶方阵A的n个特征值为 则必有 （1） （2） 其中 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵 的迹，记作 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。 特征值与特征向量的性质 设 分别为方阵 的属于特征值 的特征向量，如果 各不相同， 那么向量组 线性无关。 和 设 为n阶矩阵，则矩阵A 的特征值相同。 特征向量间的线性相关性 设 是n 阶矩阵A 的特征值， 是A的属于 的特征向量，则 （1）对任意常数 ，数 是矩阵 的特征值； （2）对任意常数 ，数 是矩阵 的特征值； （3）对任意正整数 ， 是矩阵 的特征值； （4）当矩阵 可逆时， 是矩阵 的特征值； 特征值 并且 仍然是矩阵 的分别对应于特征值 的特征向量。 类似：若 是A的特征值， 的特征值； （其中） 的特征向量。 设3阶方阵 的特征值为1，2，3，求 设 ，则 因为 的特征值为 1，2，3， 所以 的特征值为 ， ， 于是 用幂法计算矩阵的按模最大的特征值系 程序设计 A={{1,-1},{2,-6}}; MatrixForm[%] xa={-0.5,1}; Do[xb=A.xa; Print[k, ,xb, , xb[[1]]/xa[[1]], xb[[2]]/xa[[2]]]; xa=xb/Max[Abs[xb]],{k,1,15}] Eigensystem[N[A]]; MatrixForm[%] 1 {-0.5, 1} {-1.5, -7.} 3. -7. 2 {-0.214286, -1.} {0.785714, 5.57143} -3.66667 -5.57143 3 {0.141026, 1.} {-0.858974, -5.71795} -6.09091 -5.71795 4 {-0.150224, -1.} {0.849776, 5.69955} -5.65672 -5.69955 5 {0.149095, 1.} {-0.850905, -5.70181} -5.70712 -5.70181 6 {-0.149234, -1.} {0.850766, 5.70153} -5.70088 -5.70153 7 {0.149217, 1.} {-0.850783, -5.70157} -5.70165 -5.70157 8 {-0.149219, -