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分类枚举
小芳为了给灾区儿童捐款,把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有多少钱。小朋友,你知道小芳是怎么数的吗?小芳是个聪明的孩子,她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。所以很快就数好了。
小芳数钱,用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的数学思考方法,在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧!
典型例题
例[1] 下图中有多少个三角形?
分析 我们可以根据图形特征将它分成3类:
第一类: 有6个;
第2类: 有6个;
第3类: 有3个;
解 6+6+3=15(个)
图中有15个三角形。
例[2] 下图中有多少个正方形?
分析 根据正方形边长的大小,我们将它们分成4类。
第1类:由1个小正方形组成的正方形有24个;
第2类:由4个小正方形组成的正方形有13个;
第3类:由9个小正方形组成的正方形有 4个;
第4类:由16个小正方形组成的正方形有1个。
解 24+13+4+1=42。
图中有42个正方形。
例[3] 在算盘上,用两粒珠子可以表示几个不同的三位数:分别是哪几个数?
分析 根据两粒珠子的位置,我们可将它们分成3类:
第1类:两粒珠子都在上档,可以组成505,550;
第2类:两粒珠子都在下档,可以组成101,110,200;
第3类:一粒在上档,另一粒在下档,可以组成510,501,150,105,600。
解 可以表示101,105,110,150,200,501,505,510,550,600共10个三位数。
例[4] 用数字7,8,9可以组成多少个不同的三位数?分别是哪几个数?
分析 根据百位上数字的不同,我们可以将它们分成三类:
第1类:百位上的数字为7,有789,798;
第2类:百位上的数字为8,有879,897;
第3类:百位上的数字为9,有978,987。
解 可以组成789,798,879,897,978,987共6个三位数。
例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问:铁路部门要为这趟车准备多少种车票?
分析 我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类(注:为了方便,我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪):
在第一大类中,我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成4类。
第1类:从宁出发:宁 常,宁 锡,宁 苏,宁 沪,4种;
第2类:从常出发:常 锡,常 苏,常 沪,3种;
第3类:从锡出发:锡 苏,锡 沪,2种;
第4类:从苏出发:苏 沪,1种。
我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类,聪明的小朋友可能已经想到了,它的种数与第一大类完全相同。
解 (4+3+2=1)×2=20(种)
铁路部门要准备20种车票。
小结 分类枚举的关键是正确分类,为此,必须注意两点:
分类要全、枚举要清。分类不全,就会造成遗漏。如上面例1中,如果一不小心,把第3类丢了,就会造成差错。当分类确定之后,要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来。
分类要清。因为如果分不清,使第1类中有第2类,第2类中有第3类,互相包含,那么就会有重复。这样结果也就很难正确了。
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