计算流体力学第2讲差分方法1 (2).ppt

第0节 前言 第1节 有限差分法基本原理 第2节 差分方法理论基础 Copyright by Li Mingjun Copyright by Li Mingjun 表1 有限差分法计算结果(FDS)与解析解(AS)在x=0.3的对比数据(r=0.10) Copyright by Li Mingjun 表2 有限差分法计算结果(FDS)与解析解(AS)在x=0.3的对比数据(r=0.50) Copyright by Li Mingjun 表3 在不同空间位置有限差分法计算的结果(r=1) Copyright by Li Mingjun (d1) (d2) 在i=0点，式(a)表述为 如果选用中心差分公式，式(d1)可写为 由式(e1)和式(e2)联立消掉 得 (e1) (f1) 注：考虑以下边界条件的情况 Copyright by Li Mingjun 在i=K点，式(a)表述为 根据中心差分公式，在i=K点边界条件可写为 4*. 复杂网格的处理方法 (1) 一维情况： 非均匀网格 … j-2 j-1 j j+1 … 非均匀网格 [0,1]的均匀网格 将方程由物理空间变到计算空间 （以x 为自变量变为以 为自变量） 其中 为已知函数 * 物理坐标 ?? 计算坐标 Copyright by Li Mingjun … j-2 j-1 j j+1 … 方法1 （常用）： 网格（Jacobian）变换 常用的一维坐标变换函数： * 要求： (1) 坐标变换必须足够光滑， 否则会降低精度 (2) 网格间距变化要缓慢， 否则会带来较大误差 Copyright by Li Mingjun 网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度； 随机网格都可保证精度 指数函数 双曲正切函数 方法2： 在非等距网格上直接构造差分格式 … j-2 j-1 j j+1 … 原理： 直接进行Taylor展开，构造格式格式系数是坐标（或网格间距）的函数 解出系数 注： 系数随网格点(j)变化！ * Copyright by Li Mingjun (2) 二维/三维情况 坐标变换 ? 均匀的直角网格 * 控制方程 * * 第二讲 有限差分法（1） 李明军 湘潭大学 数学与计算科学学院 数学楼315； email: alimingjun@163.com 计算流体力学讲义 第2节 差分方法理论基础 第0节 前言 第1节 有限差分法基本概念 (1) 有限差分法研究背景 (2) 研究CFD的手段 研究CFD的理论手段 研究CFD的实验手段 研究CFD的计算手段 传统计算方法： 有限差分法， 有限体积法 ， 有限元法， 谱方法（谱元法）等； 最近发展的方法: 基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格 优点 缺点 适用范围 有限差分法 简单成熟，可构造高精度格式 处理复杂网格不够灵活 相对简单外形的高精度计算 有限体积法 守恒性好，可处理复杂网格 不易提高精度（二阶以上方法复杂） 复杂外形的工程计算 有限元法 基于变分原理，守恒性好 对于复杂方程处理困难 多用于固体力学等 谱方法 精度高 外形、边界条件简单 简单外形的高精度计算 LBM方法 算法简单，可处理复杂外形 精度不易提高 复杂外形的工程计算 (1) 有限差分法研究背景 * Copyright by Li Mingjun * 流体力学 理论研究 实验研究 数值研究 计算流体力学 （数值计算技术、 计算方法研究） 理论研究： 格式推导、 稳定性分析，精度及误差分析，…… 数值实验： 采用实际问题考核方法的正确性 数值研究： 采用数值计算推导格式、考察精度/稳定性/分辨率…… “计算流体力学”作为一个学科， 其研究手段依然包括理论、实验及数值模拟。 Copyright by Li Mingjun 与 的依赖关系 * (2) 研究CFD的手段 例：Fourier分析 线性系统： 线性方程+ 线性格式 任意函数都可分解为三角函数的叠加 差分系统 (解差分方程) 初始值 数值解（特定时刻离散的函数值） 记为： 是差分算子，把离散函数（有限点列）