试验5-特征值、特征向量和二次型.ppt

方阵的特征值、特征向量和二次型 实验目的 熟悉利用MATLAB中有关 方阵的迹 方阵的特征值、特征向量 二次型 的操作方法 1. 方阵的迹 矩阵A的迹是指矩阵的对角线上元素的和，也 等于矩阵的特征值的和。 命令格式为：trace(A) 例1. 设 ，计算A的迹t. 程序设计 A=[1 1 1;2 –1 0;1 0 1]; t=trace(A) t= 1 2. 方阵的特征值与特征向量 手工计算方阵的特征值与特征向量并不是一件 容易的事，而用MATLAB来计算方阵的特征值与 特征向量只需要一个简单的命令。这里需注意两个 英文单词：eigenvalues（特征值）和 eigenvectors （特征向量）。理解这两个单词，对以下命令的 使用是有好处的。 计算方阵的特征值与特征向量的命令格式为： eig(A) 给出方阵A的所有特征值 3. 二次型通过正交变换化为标准型 对任意的实二次型 ，其中 是 阶实对称矩阵，一定可以经过正交的变量替 换 变成标准形 其中，系数 是实对称矩阵 的全部 特征值。 在MATLAB中，可以运用eig命令，计算系 数矩阵 的特征值矩阵 和特征向量矩阵 ， 即可得到正交变换 以及二次型的标准型。 4. 二次型的正定性判定 实二次型 称为正定二次型，如果对 任何 ，都有 。 正定二次型的矩阵称为正定矩阵。 判定二次型为正定的充分必要条件是，它的 系数矩阵A的特征值全部为正，或者A的各阶主子 为正。 在MATLAB中，可以运用eig命令计算系数矩 阵A的特征值矩阵D或者计算A的各阶主子式来进 行判定。 * 例2. 设 ，计算A的迹t。 程序设计 A=[8 6 5 2;3 2 2 1;4 2 3 1;3 5 1 1]; t=trace(A) t= 14 [V, D]=eig(A) 给出由方阵A的所有特征值组成的对角 矩阵D和特征向量矩阵V，满足 A*V=V*D, 或者 A=V*D*V-1， 第k个特征值对应的特征向量是V的第k 个列向量。 poly(A) 当A是n阶方阵时，给出的是A的特征 多项式的n+1个按降幂排列的系数。即 特征多项式 |λE-A|=DET(lambda*EYE(SIZE(A))-A) 的系数 例3. 设 ，计算A的特征值和特征向 量。 程序设计 ： A=[8 6 5 2;3 2 2 1;4 2 3 1;3 5 1 1] A= 8 6 5 2 3 2 2 1 4 2 3 1 3 5 1 1 eig(A) % A的特征值 ans= 13.589