贵州大学-固体物理学教案7-1.ppt

{ 由于 { 上式分别左乘?k(0)*或?k’(0)* ，并积分得 解得 这里 久期方程: (1) 对应于k态和k’态距离布里渊区边界较远的情况 { （设? 0） 此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考虑相互作用强的k和k’在微扰中的相互影响，而将其他影响小的散射波忽略不计了。影响的结果是使原来能量较高的k’态能量升高，而能量较低的k态的能量降低，即微扰的结果使k态和k’态的能量差进一步加大 (2) 对应于k和k’很接近布里渊区边界的情况 由 —— 在布里渊区边界处自由电子的动能 得 { 这表明，两个相互影响的态k和k’，微扰后的能量分别为E＋和E－，当? 0时， k’态的能量比k态高，微扰后使k’态的能量升高，而k态的能量降低。当? ?0时，E?分别以抛物线的方式趋于Tn??Un?。对于? 0， k态的能量比k’态高，微扰的结果使k态的能量升高，而k’态的能量降低 Ek’(0) Ek(0) E－ E＋ Tn Tn 由于周期场的微扰，E(k)函数在布里渊区边界k=?n?/a处出现不连续，能量的突变为： 称为能隙，即禁带宽度，这是周期场作用的结果 §7.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似 一、方程与微扰计算 方程： 周期场： 为格矢 Fourier展开： ——势能函数的平均值 —— 微小量 零级近似： 微扰项： 由零级近似求出自由电子的能量本征值和归一化波函数 与一维情况类似，一级微扰能量为 一级修正的波函数和二级微扰能量分别为 其中 在BZ边界面上或其附近[k2?(k+Gn)2]时，相应的散射 波成分的振幅变得很大，要用简并微扰来处理 当k离布里渊区边界较远时，由周期场的影响而产生 的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微扰 简并分裂后，零级近似的波函数由相互作用强的几个 态的线性组合组成 简并分裂后的能量： { = 在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量 多重简并的情况。对于g重简并，即有g个态的相互作用  强，其零级近似的波函数就需由这g个相互作用强的态 的线性组合组成，由此解出简并分裂后的g个能量值 在三维情况下，在布里渊区边界面上的一般位置，电 子的能量是二重简并的，即有两个态的相互作用强， 其零级近似的波函数就由这两个态的线性组合组成； kx ky 例：在简单立方晶格的简约区中的M点（即简约区棱边 的中点）， 电子能量为四重简并，即可以找到四个倒格矢Gn，使得k’=k－Gn态与k态的能量相等 0 kx ky kz M 这四个态的零级能量依次为 简并分裂后的零级近似波函数应由这四个简并态的线性组合组成： 代入Schr?dinger方程中，利用自由电子的波动方程，与一维情况相似，可得Secular方程： 根据立方晶体的点群对称性，在U(Gn)中倒格矢Gn的各指数互换位置或改变符号，应具有相等的U(Gn) 在上式中的各U(Gn)可以分成两类： 只要给出U(r)的具体形式，即可求出其相应的各Fourier系数，再由上式的Secular方程求出简并分裂后的各能量值 二、布里渊区与能带 简约区的体积＝倒格子原胞体积＝?b 简约区中k的取值总数＝?(k) ?b＝N＝晶体原胞数 每一个布里渊区的体积都等于倒格子原胞体积?b，每一个布里渊区都可以填充2N个电子 由周期性边界条件 V： 晶体体积 考虑电子自旋，简约区中共可填充2N个电子 贵州大学新型光电子材料与技术研究所 第七章 能带理论 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 能带论的基本出发点: 固体中的电子可以在整个固体中运动 Born－Oppenheimer绝热近似：所有原子核都周期性 地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子 的碰撞 能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带论。 能带论的两个基本假设： Hatree－Fock平均场近似：忽略电子与电子间的相互 作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用 §7.1 Bloch定理 一、周期场模型 周期场模型：在理想完整晶体中，所有原子实都周期 性地静止排列在其平衡位置上；每一个 电子都处在除其自身外其他电子的平均 势场和原子实所组成的周期场中运动 二、Bloch定理（1928年） 在周期场中，描述电子运动的Schr?dinger方程为 为周期性势场，