近世代数课件--第三章环与域12.ppt

数学与计算科学学院 第三章 环与域 加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想 剩余类环、同态与理想 最大理想 商域 §1加群、环的定义 §２交换律、单位元、零因子、整环 §３除环、域 §４无零因子环的特征 § 5 子环、环的同态 § 6、多项式环 § 7 理想 § 8 剩余环、同态与理想 定理3 假设R与 是两个环，且 若R是整环，则 也是整环； 若R是除环，则 也是除环； 若R是域，则 也是域。 § 5 子环、环的同态 § 5 子环、环的同态 定理4（挖补定理）设S是环R的一个子环，S在R里的补足集合与另一个环 没有共同元，并且 ，则存在一个与R同构的环 而 是 的子环。 证明思路：令 因 所以有同构映射 R中不属于S的元为a,b,c,… 则 规定一个映射 则可以证明 。 § 5 子环、环的同态 定义 一个可以写成 形式的R0的元叫做R上的一个多项式，ai叫做多项式的系数。其中 系数是R上的所有多项式构成 一个集合记为 定义加法与乘法运算如下： 加法 其中 结论：1、加法与乘法封闭。 2、 是一个环（包含R0和 的最小子环）。 定义 叫做R上的 的多项式环。 乘法 § 6、多项式环 定义 R0的一个元x叫做R上的一个未定元，若R中找不到不都等于0的元a0,a1,…an，使得 § 6、多项式环 定义 令 是环R上的多项式，则n称为为个多项式的次数，0多项式没有次数。 定理1 有单位元交换一定有未定元x存在。 证明思路：1、利用交换环R构造一环 其中只有有限个ai不等于零.则定义加法和乘法可证明其为交换环。 2、利用 可以得到一个包含R的环P 3、证明P包含R上的未定元。 § 6、多项式环 定义 一个有形式 的元叫做R上的 的多项式。 多项式环记作 则R上的所有 的多项式构成一个环称为 定义 R上的x1,x2,…,xn任何一个系数不全为零的多项式不等于0，则称x1,x2,…,xn为R上的无关未定元。 § 6、多项式环 定理2 R为一个交换环，n为一个正整数，则一定有R上的无关未定元x1,x2,…,xn存在。 证明思路：由定理1和数学归纳法得到。 定理3 设 和 是R上的多项式环， x1,x2,…,xn是无关未定元则 与 同态。 § 6、多项式环 证明思路： 则定义映射： 可以证明其为一个同态映射。 § 6、多项式环 定义环R的一个非空子集 叫做一个理想子环（理想）若： 1、 2、 显然：只包含零元的集合，是R的理想，称为R的零理想。 R自己也是R的理想，称为R的单位理想。 定理1 除环R中有零理想和单位理想。 证明：设 是R的一个理想，且不是零理想，则由 得 所以对任意 所以 注：理想对除环和域没有用处。 § 7 理想 例1 设R是整数环，n为是0，1的整数，则所有倍数rn作成一个理想。 例2 环R上的一元多项式环R[x]则所有次数不超过n次的多项式构成的集合是R[x]的理想。 § 7 理想 定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运算叫做加法，并且用称号+表示。 因此在加群里n个元 的和有意义，这个和 用符号 即： 加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示 则有运算规则： 规定: 则有： §1加群、环的定义 （0为Ｒ中零元） 定义　一个集合Ｒ叫做环，假如 1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群； ２、Ｒ对于一个叫做乘法的运算来说是闭的； ３、关于乘法满足结合律： ４、关于乘法与加法满足分配律： 则有运算规则： §1加群、环的定义 （0为Ｒ中零元） §1加群、环的定义 规定： 则有： §1加群、环的定义 定义　一个环Ｒ叫做交换环，假如 其中a,b为Ｒ中任意元。 所以有： 定义　一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有 其中a为Ｒ中任意元。 注：不是所有环都有单位元，如下例。 例１Ｒ＝｛所有偶数｝，Ｒ对于普通数的加法和乘法作成一个环，但Ｒ没有单位元。 单位元的唯一性：一个环Ｒ如果有单位元则其单位元是唯一的。 证明：设Ｒ有两个单位元e和e’则有 所以性质成立。 注一个环Ｒ中的单位元用1表示，且规定 §２交换律、单位元、零因子、整环 定义　一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如 逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。 证明：设a有两个逆元b和b’，则 所以性质成立。 注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除１和-1外其余元都滑逆元。 §２交换律、单位元、零因子、整环 用a-1表示a的逆元，且规定 则对任何整数都有 §２交换律、单位元、零因子、整环 定义　若在一个环Ｒ里 但 则称a是环Ｒ的一个左零因子