连续函数的四则运算.ppt

* 1. 连续函数的四则运算 2. 反函数与复合函数的连续性 3. 初等函数的连续性 基本初等函数在各自的定义域上都连续 . 初等函数在其各自的定义域上都连续 . 这里定义 区间指包含在其定义域内的区间 . 4. 闭区间上连续函数的性质 1.11 连续函数的运算与性质 一、连续函数的算术运算 定理1 若函数 在点 处连续, 则 在点 处也连续. 例如, 在 内连续, 故 在其定义域内连续. 二、复合函数的连续性 定理2 若 函数 在点 处 连续, 则有 证 在点 处连续, 当 时, 恒有 又 对上述 当 时, 恒有 结合上述两步得, 当 时, 恒有 意义 1. 2. 极限符号可以与连续函数符号互换; 的理论依据. 定理2给出了变量代换 定理3 设函数 在点 处连续, 且 而函数 在点 处连续, 则复合函数 在点 处也连续. 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, 在 内连续, 在 内连续, 在 内连续. 例 1 完 求 解 例 完 求 解 例 2 完 求 解 因为 所以 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数 的; 指数函数 在 内单调 且连续; 对数函数 在 内单 调且连续; 在 内连续. 讨论 的不同值(均在其定义域内连续). 在它们的定义域内是连续 初等函数的连续性 讨论 的不同值(均在其定义域内连续). 定理4 基本初级函数 定理5 一切初级函数 定义区间是指 注意 1. 但在其 定义域内不一定连续. 例如, 在这些孤立点的领域内没有定义. 及 在定义域内是连续的. 在其定义区间内都是连续的. 包含在定义域内的区间. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在这些孤立点的领域内没有定义. 及 在0点的领域内没有定义, 函数在区间 上 2. 定义区间). 连续. 初等函数求极限的方法(代入法) 完 例 3 完 求 解 因为 是初等函数 , 且 是其定义区间内的点 , 所以 在点 处连续 , 于是 幂指函数 因为 故幂指函数可化为复合函数. 易见: 若 则 即 注意公式成立的条件 例6 求 称为幂指函数. 解 完 形如 的函数 定义 对于在区间 上有定义的函数 如果 有 使得对于任一 都有 则称 是函数 在区间 上的最大(小)值. 例如, 在 上, 在 上, 四、闭区间上连续函数的性质 定理6 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值. 定理7 有界性定理 在闭区间上连续的函数 证 设函数 在 上连续, 于是存在 、 使得 有 取 故函数 在 上有界. 完 一定在该区间上有界. 定义 如果 使 则 称为函数 的零点. 定理8零点定理 设函数 在闭区间 上连续, 且 与 异号 (即 即至少有 一点 使 那么在开区 内至少有函数 间 的一个零点, 即方程 在 内至少存在一个实根. 定理9介值定理 设函数 在闭区间 上连续, 且 在这区间的端点取不同的函数值 推论1 在闭区间上连续的函数 与最小值 之间的任何值. 必取得介于最大值 *